2024届吉林省延边州高三教学质量检测（一模）数学答案

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延边州2024年高三教学质量检测
数学答案及评分标准
一、单项选择题 1-4. CACB 5-8. BDAC
二、多项选择题 9. AC 10. ACD 11. ABD 12. CD
三、填空题 13. 4 14.
48
125
15. (-∞，2ln2) 16.
2
10
四、解答题
17.【详解】（1）
 
2 2
1 3 1 3 1 cos 2
sin 2 sin 2
1 3
sin 2 2
2 2 2 2
sin sin
2 2
f x x x x x
x x
   
 
   
........1 分
3 1 π
sin 2 cos 2 sin(2 )
2 2 6
x x x
 
 
........3 分
因为
2π 4π
2
T
 
，所以
1
4
.........4 分
令
1 π π π, Z
2 6 2
x k k  
，解得
2π 2 π, Z
3
x k k 
，
故对称轴方程为：
.........5 分
（2）由
 
2 cos cosa c B b C  
，得
(2 sin sin ) cos sin cosA C B B C 
，
所以
2sin cos sin cos cos sin sin( ) sinA B B C B C B C A  
.
sin 0A
，所以
1
cos 2
B
........6 分
又
 
0, πB
，所以
π
3
B
.........7 分
所以
1 π 2π
( ) sin( ),0
2 6 3
f A A A  
，因此
π π π
6 2 6 2
A
 
，........8 分
1 π
sin( ) 1
2 2 6
A
 
，
1
( ) ,1
2
f A  
 
 
.........10 分
18. 【详解】（1）当
1n
时，
2
1
1
1
2
a
a
 
 
 
，解得
11a
．........1 分
当
2n
时，由
2
1
2
n
n
a
S
 
 
 
①，可得
2
1
1
1
2
n
n
a
S
 
 
 
，②........2 分
①
②得：
2 2
1 1
4 2 2
n n n n n
a a a a a
 
 
，即
 
1 1 2 0
n n n n
a a a a
 
 
．........4 分
0
n
a
，
12
n n
a a
 
．........5 分
 
n
a
是以 1为首项，以 2为公差的等差数列，
数列
 
n
a
的通项公式
1 ( 1) 2 2 1
n
a n n 
．........6 分
（2）由（1）可得
2
(1 2 1)
2
n
n n
S n
 
 
，........7 分
2 2 2 2
1 1 1 1
( 2) 4 ( 2)
n
n
bn n n n
 
 
 
 
 
，........9 分
12
1 1 1
4 1 3
b 
 
 
 
，
22 2
1 1 1
4 2 4
b 
 
 
 
，
32 2
1 1 1
4 3 5
b 
 
 
 
，......，
12 2
1 1 1
4 ( 1) ( 1)
n
bn n
 
 
 
 
 
，
{#{QQABZYgEggggAAJAAQgCUwWYCEAQkBCAAAoOwAAMIAAByAFABAA=}#}
nn bbbbT 321
)
)2(
11
)1(
1
)1(
1
5
1
3
1
4
1
2
1
3
1
1(
4
1
222222222
nnnn
......10
16
5
4
5
4
1
)
)2(
1
)1(
1
4
1
1(
4
1
22
nn
.........12 分
19. 【详解】（1）记第 i局甲赢为事件
i
A
，乙赢为事件
i
B
，
则
   
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
( )P A P A A B A P A B A A P B A A A  
........2 分
1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1
3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2
      
5
36
........4 分
（2）由题意知
的取值为 3，4，5.........5 分
   
1 2 3 1 2 3
3P P A A A P B B B
 
1 1 1 2 1 2 5
3 2 3 3 2 3 18
    
........6 分
           
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
4P P A A B A P A B A A P B A A A P B B A B P B A B B P A B B B

5 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 5 8 13
36 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 36 36 36
        
........7 分
 
5 13 13
5 1 18 36 36
P
 
........8 分
由题意得，随机变量
ξ
的分布列如下：
........10 分
数学期望
 
5 13 13 147 49
ξ 3 4 5
18 36 36 36 12
E  
.........12 分
20.【详解】（1）解：存在，当 E为AC 的中点时，AD∥平面
1 1
B C E
，理由如下：
如图所示：取
1 1
B C
的中点 F，连接 EF，DF ，........1 分
∵DF 是
1 1 1
A B C△
的中位线，
∴
1 1 1 1
1 1
/ / ,
2 2
DF A C DF AC
，
又
1 1 1 1
1 1
/ / ,
2 2
AE A C AE AC
，
∴
/ / ,DF AE DF AE
，
∴四边形 DFEA 是平行四边形 ，........2 分
∴AD∥EF，
又
AD
面
1 1
B C E
，
EF
面
1 1
B C E
，
∴AD∥平面
1 1
B C E
．........4 分
（2）∵四边形
1 1
ABB A
是矩形，
ξ
3
4
5
P
5
18
13
36
13
36
{#{QQABZYgEggggAAJAAQgCUwWYCEAQkBCAAAoOwAAMIAAByAFABAA=}#}
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