海南省文昌中学2023-2024学年高二下学期第一次月考试题 数学 含解析

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2023—2024 学年度第二学期高二第一次月考试题
数 学
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．函数 f(x)＝x2－ln x的单调递减区间为（ ）
A．(－1,1) B．(－∞，1 ) C．(0,1) D．(1，＋∞)
2．小王有 70 元钱，现有面值分别为 20 元和 30 元的两种 IC 电话卡．若他至少买 1张，
则不同的买法共有（ ）
A．7种 B．8种 C．6种 D．9种
3．函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象如图所示，给出下列命题：
①－3是函数 y＝f(x)的极值点；
②－1是函数 y＝f(x)的最小值点；
③y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增；
④曲线y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零．
其中正确命题的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
4．抛物线 y2＝4x的焦点到双曲线 x2－＝1的渐近线的距离是（ ）
A．　　　　 B． C．1　　　　 D．
5．已知函数 f(x)的导数为 f′(x)，且 f(x)＝2xf
′(e)＋ln x，则 f(e)＝（ ）
A．－
B．－1 C．1 D．e
6．某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量 p(单位：毫克/升)
不断减少，已知 p与时间 t(单位：小时)满足 p(t)＝ ，其中 p0为t＝0时的污染物
数量．又测得当 t[0∈，30]时，污染物数量的平均变化率是－ 10ln2，则
p(60)＝
（ ）
A．150 毫克/升 B．300 毫克/升
C．150ln2 毫克/升 D．300ln2 毫克/升
7．某体育彩票规定：从 01 至36 共36 个号中选出 7个号为一注，每注 2元．某人想从
01 至10 中选 3个连续的号，从 11 至20 中选 2个连续的号，从 21 至30 中选 1个号，
从31 至36 中选 1个号组成一注，若这个人把满足这种特殊要求的号买全，要花（
）
A．3360 元B．6720 元 C．4320 元 D．8640 元
8．设 f(x)，g(x)分别是定义在 R上的奇函数和偶函数，f′(x)，g′(x)为其导函数,当x<0 时，
f′(x)·g(x)+f(x)·g′(x)<0 且g(—3)=0,则使不等式 f(x)·g(x)<0 成立的 x的取值范围是（
）
A. (－∞, 0)∪(3,
＋∞) B. (－3, 0)∪(3,
＋∞)
C. (－∞, 3) D. (0, 3)∪(6,
＋∞)
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9．已知数列{an}是等差数列，若 a1＝3，a2，a5－3，a6＋6成等比数列，则数列{an}的
公差为（ ）
A．－3 B．3 C．2 D．－
10．函数 f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则 a的值可以为（ ）
A．0 B． C． D．
11．函数 f(x)＝xn x，g(x)＝，下列命题中正确的是（ ）
A．不等式 g(x)＞0的解集为
B．函数 g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减
C．若函数 F(x)＝f(x)－ax2有两个极值点，则 a(0,1)∈
D．若 x1＞x2＞0时，总有(x－x)＞f(x1)－f(x2)恒成立，则 m≥1
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分。
12．甲、乙、丙 3位志愿者安排在周一至周五的 5天中参加某项志愿者活动，要求每人
参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位的前面．不同的安排方法
共有 种．
13 ． 已 知 函 数 ， 若 在 （ 2, 3 ）上单调，则实数 的取值范围
.
14．已知集合 ，其中 且 ，若对
任 意的 ，都有 ，则称集合 具有性质 .
（1）集合 具有性质 ，则 的最小值 ；（2分）
（2）已知 具有性质 ，若 ，则 的最大正整数为 .（3
分）
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分 13 分）
（1）已知函数 在区间 上的最大值与最小值分别为 ，
求 ？
（2）已知 是函数 的一个极值点，求 .
16．（本小题满分 15 分）
已知各项均为正数的等比数列{an}满足 a2a3＝8a1，且 a4, 36, 2a6成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记 bn＝，求数列{bn}的前 n项和 Tn.
17．（本小题满分 15 分）
四棱锥 P-ABCD 中，四边形 ABCD 为菱形，AD=2，∠BAD=60°，平面 PBD⊥平面
ABCD．
（1）证明：PB⊥AC；
（2）若 PB=PD，且 PA 与平面 ABCD 成角为 60°，
点E在棱 PC 上，且 ，求平面 EBD
与平面 BCD 的夹角的余弦值．
18．（本小题满分 17 分）已知椭圆 E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点(4，2)．
（1）求椭圆 E的方程；
（2）设 E的左、右顶点分别为 A, B，点 C, D为E上与 A, B不重合的两点，且∠CAD
＝90°.
① 证明：直线 CD 恒过定点 P；
② 求△BCD 面积的最大值．
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