海南省海南中学2023-2024高一第二学期3月月考-数学答案

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试卷第 1页，共 14页
海南中学2024-2025学年度第二学期第一次月考
高一数学试题
（满分：150 分；考试时间：120 分钟）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．已知在
ABC
中，
5
2, 1,cos 6
AB AC A 
，则
BC
（ ）
A．1 B．
5
2
C．
5
3
D．
15
3
【答案】D
【详解】由余弦定理得
2 2 2 2 2 5 5
2 · cos 2 1 2 2 1 6 3
BC AB AC AB AC A  
，
所以
15
3
BC
．故选：D．
2．已知向量
，
(3, 2)b
r
，
，则
cos ,a b c 
 
（ ）
A．
5
5
B．
5
5
C．
5
3
D．
5
10
【答案】A
【详解】
因为
(2, 2)b c  
 
，
所以
 
2
2 2 2
( ) 3 2 1 ( 2) 5
4
cos 5
,10 2 2
3 1 2 2
a b c
a b
c b
c
a  
 
 
    
 
．
故选：A.
3．已知
为第二象限角，且
π 3
sin 6 3
 
 
 
 
，则
π
cos 2 6
 
 
 
 
（ ）
A．
2 2
3
B．
2 2
3
C．
2
3
D．
2
3
【答案】B
【详解】由于
为第二象限角，则
π2 π π 2 π, Z
2k k k
 
,
则
2π π 7π
2 π 2 π, Z
3 6 6
k k k
 
，
由
π 3
sin 0
6 3
 
 
 
 
可得
2π π
2 π π 2 π, Z
3 6
k k k
 
，
4π π
4 π 2 2π 4 π, Z
3 3
k k k
 
，
2
2
π π 3 1
cos 2 =1 2sin 1 2
3 6 3 3
 
 
 
 
 
   
   
，
{#{QQABJQIAggAIQIIAABhCQQHACgGQkBEACCoORAAIMAIACRNABAA=}#}
试卷第 2页，共 14页
由于
π 1
cos 2 = 0
3 3
 
 
 
 
，
所以
3π π
4 π 2 2π 4 π, Z
2 3
k k k
 
，故
π 2 2
sin 2 =
3 3
 
 
 
 
，
所以
π π π π
cos 2 cos 2 sin 2
6 3 2 3
 
 
     
 
 
2 2
3
，
故选：B
4．如图所示，为测量河对岸一点
C
与岸边一点
A
之间的距离，已经测得岸边的
A
，
B
两
点间的距离为
m
，
CAB
 
，
CBA
 
，则
C
，
A
间的距离为（ ）
A．
sin
sin
m
B．
sin
sin
m
C．
 
sin
sin
m
 
D．
 
sin
sin
m
 
【答案】C
【详解】因为
sin sin
AB AC
ACB ABC
 
，
所以
 
sin sin
sin sin
AB ABC m
AC ACB
 
 
 
 
.
故选：C.
5．在
ABC
中，已知
π
6
A
，
2a
，若
ABC
有两解，则（ ）
A．
2 4b 
B．
4b
C．
2 4b 
D．
0 2b 
【答案】C
【分析】根据正弦定理及图形关系得到
sinb A a b 
即可得到答案.
【详解】
如上图所示，要使
ABC
有两解，则以
B
为圆心，
2
为半径的圆与射线
AC
有两个交点，
ABC
有两解的充要条件为
sinb A a b 
，代入题设得
2 4b 
.
故选：C.
{#{QQABJQIAggAIQIIAABhCQQHACgGQkBEACCoORAAIMAIACRNABAA=}#}
试卷第 3页，共 14页
6．设
G
为
ABC
的重心，则
2 3GA GB GC 
 
（ ）
A．0 B．
AC
C．
BC
D．
AB
【答案】B
【分析】利用三角形的重心的向量表示及向量的线性运算即可求解.
【详解】因为
G
为
ABC
重心，
所以
0GA GB GC 
  
，
所以
2 3 2 2 2GA GB GC GA GB GC AG GC AC    
    
，
故选：B.
7.如图，在边长为 2的正方形 ABCD 中，其对称中心 O平分线段 MN，且
2MN BC
，
点E为DC 的中点，则
EM EN 
 
( )
A．1 B．3 C．-1 D．-3
【答案】D
【解析】由题可知
2 4, 2, 1MN BC OM OE 
，
 
EM EN EO OM EO ON 
   
 
2 2 1 4 3EO OM EO OM EO OM  
  
,选D
8.
ABC
中，
π
sin cos 2
2B A
 
 
 
 
，则
AC BC
AB
的取值范围是（ ）
A．
1
12
 
 
 
，
B．
1 1
3 2
 
 
 
，
C．
1 2
2 3
 
 
 
，
D．
1 2
3 3
 
 
 
，
【答案】B
【分析】化简得到
cos cos2B A
，从而得到
2A B
，得到
π 3C A 
，
π
0, 3
A 
 
 
，利用
正弦定理得到
1
2 cos 1
AC BC
AB A
，从而得到
AC BC
AB
的取值范围.
【详解】
π
sin cos cos 2
2B B A
 
 
 
 
，
在
ABC
中，
 
, 0, πA B
，故
2A B
或
2 2πA B 
，
当
2 2πA B 
时，
π
2
B
A 
，故
，不合要求，舍去，
所以
2A B
，
π π 2 π 3C A B A A A     
，
因为
 
, 0, πA B
，所以
 
2 0, πA
，即
π
0, 2
A 
 
 
，
因为
 
π 3 0, πC A 
，所以
π
0, 3
A 
 
 
，
由正弦定理得
sin sin sin
AC AB BC
B C A
 
，
{#{QQABJQIAggAIQIIAABhCQQHACgGQkBEACCoORAAIMAIACRNABAA=}#}
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