2024届广西柳州高中、南宁三中高三一轮复习诊断性联考 数学答案

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柳州高中、南宁三中 2024 届一轮复习诊断性联考
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1. 已知集合 A=1,3,4
，集合 B=2,3,4,6
，则如图中的阴影部分表示 ()
A. 3,4
B. 1
C. 2,6
D. 1,2,3,4,6
【答案】C
【详解】因为韦恩图中的阴影部分表示的是属于 B不属于 A的元素组成的集合，又 A=1,3,4
，B=2,3,4,6
，所
以韦恩图中的阴影部分表示的集合是 2,6
.
故选：C.
2. 已知命题 p：∃x∈R,xlg +x≥3，则 ¬p为( )
A. ∀x∈R,xlg +x<3 B. ∃x∈R,xlg +x<3 C. ∀x∈R,xlg +x≥3 D. ∃x∈R,xlg +x≤3
【答案】A
【详解】命题 p是存在量词命题，所以 ¬p是“∀x∈R,lgx +x<3”。故选 A.
3. 一组数据从小到大的顺序排列如下：9,10,12,15,17,18,22,26 经计算，则 75%分位数是 (）
A. 18 B. 20 C. 21 D. 22
【答案】B
【解析】因为 8×75% = 6,故75%分位数是第 6个和第 7个的平均数，则 18 +22
2=20
4. 若cos α+π
4
=3
5，则 sin2α= ()
A. 7
25 B. -7
25 C. 9
25 D. -9
25
【答案】
A
【详解】cos2 α+π
4
=cos2α+π
4
-sin2α+π
4
=3
5
2-4
5
2=- 7
25 ,所以 sin2α=-cos 2α+π
2
=7
25 .
故选：A
5. 已知 f(x) = cosx
(x2+3x) (x+a)为奇函数，则 a=( )
A. 3 B. -3 C. 0 D. -1
【答案】B
【详解】由（x2+3x) (x+a) ≠ 0⇒x≠0且x≠-3且x≠-a.因为该函数为奇函数，所以定义域关于原点对称，因此
-a=3⇒a=-3,即f(x) = cosx
(x2+3x) (x-3)=cosx
x(x+3) (x-3)=cosx
x(x2-9).因为 f(-x) = cos(-x)
-x(x2-9)=- cosx
x(x2-9)=-f(x),
{#{QQABDYCEggAAAAAAAAhCAw0oCkOQkAEAACoGgFAIMAABCQFABAA=}#}
所以该函数是奇函数，符合题意。
故选 B.
6. 抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过抛物线的焦点．
过点 P2 2 ,5
且平行于 y轴的一条光线射向抛物线 C：x2=4y上的 A点，经过反射后的反射光线与 C相交于点
B，则 AB
= ( )
A. 7
2B. 9 C. 36 D. 9
2
【答案】D
【详解】解：由题意得点 A的坐标为 2 2 ,2
，C的焦点为 F0,1
，所以直线 AB 的方程为 y=2
4x+1，与抛物线
方程 x2=4y联立，消去 y得x2-2x-4=0，由韦达定理得 xA+xB=2，所以 yA+yB=2
4xA+xB
+2=5
2，
所以由抛物线的定义得 AB
=yA+yB+2=9
2．故选：D
7. 如果一个数列从第 2项起，每一项与它前一项的和除以与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做
“和差等比数列”.已知 an
是“和差等比数列”，a1=1，a2=3，则满足使不等式 an>100 的n的最小值是 ()
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
【答案】C
【详解】依题意，
an+1+an
an+1-an
=a2+a1
a2-a1
=2，得 an+1
an
=3，则数列 an
是首项为 1，公比为 3的等比数列，所以 an=1⋅
3
n-1=3n-1，检验知，当 n≥6时，36-1=243 >100 成立，所以 n的最小值是 6. 故选：C.
8. 某同学参加学校组织的数学知识竞赛，在 5道四选一的单选题中有 3道有思路，有 2道完全没有思路，有思路的题
目每道做对的概率为 1
2，没有思路的题目只好任意猜一个答案.若从这 5道题目中任选 2题，则该同学 2道题目都
做对的概率为 (）
A. 1
4B. 7
32 C. 3
16 D. 5
32
【答案】D
【详解】若该同学从中选到 2道有思路的，则都做对的概率为 (1
2)2=1
4，
若该同学从中选到 1 道有思路的和 1道完全没有思路的，则都做对的概率为 1
2×1
4=1
8,
若该同学从中选到 2道完全没有思路的，则都做对的概率为 (1
4)2=1
16
所以由全概率公式，若从这 5道题目中任选 2题，则该同学 2道题目都做对的概率为
C2
3
C2
5
×1
4+C1
3C1
2
C2
5
×1
8+C2
2
C2
5
×1
16 =3
10 ×1
4+6
10 ×1
8+1
10 ×1
16 =3
40 +3
40 +1
160 =25
160 =5
32
故选：D.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 若复数 z满足 zi=1-i,则下列命题正确的有 ()
A. z的虚部是 -1 B. z
=2
C. z2=2 D. z是方程 x2+2x+2=0的一个根
【答案】ABD
【详解】zi =1-i⇒z=-1-i，故 A,B正确 ; z2= (-1-i)2=2i ，故 C错误;而(-1-i)2+2(-1-i) + 2=0成立，
故D正确。故选：ABD
10. 在物理学中，把物体受到的力 (总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．在适
当的直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数 f(x) = Asin(ωx +φ) (A>0,ω>0,|φ| < π)的部分图象如图所示，则
{#{QQABDYCEggAAAAAAAAhCAw0oCkOQkAEAACoGgFAIMAABCQFABAA=}#}
下列结论正确的是 ()
A. ω=2,频率为 1
π，初相为 π
6
B. 函数 f(x)的图象关于直线 x=- π
6对称
C. 函数 f(x)在[π
12 ,13π
24 ]上的值域为 [0,2]
D. 若把 f(x)图像上所有点的横坐标缩短为原来的 2
3倍，纵坐标不
变，再向左平移 π
12 个单位，则所得函数是 y=2sin 3x+π
12
【答案】BCD
【详解】由图象可得 A=2,3
4T=13π
12 -π
3=3π
4，∴T=π，频率是 1
T=1
π，ω=2π
π=2，∵f(π
3) = 2，∴f(π
3) =
2sin 2π
3+φ
=2，即 sin 2π
3+φ
=1，∴2π
3+φ=2kπ+π
2(k∈Z)，∴φ=2kπ-π
6(k∈Z)，∵ |φ| < π，∴φ=
-π
6，
∴f(x) = 2sin 2x-π
6
，初相是 -π
6,故A错误；
f(- π
6) = 2sin -π
3-π
6
=-2,故B正确；
因为 x∈ [ π
12 ,13π
24 ], 所以 2x-π
6∈0,11π
12
∴f(x) = 2sin 2x-π
6
在[π
12 ,13π
24 ]上的值域为 [0,2]，故 C正确；
把f(x)的横坐标缩短为原来的 2
3倍，纵坐标不变，得到的函数为 y=2sin 3x-π
6
，又向左平移 π
12 个单位，得到
的函数为 y=2sin 3 x+π
12
-π
6
=2sin(3x+π
12 )，故 D正确；
故选：BCD
11. 在边长为 2的正方体 ABCD -A1B1C1D1中，动点 M满足 AM
=xAB
+yAD
+zAA1
,(x,y,z∈R且x≥0,y≥0,z
≥0)，下列说法正确的是 ()
A. 当x=1
4,z=0,y∈ [0,1]时，B1M+MD 的最小值为 13
B. 当x=y=1,z=1
2时，异面直线 BM 与CD1所成角的余弦值为 10
5
C. 当x+y+z=1，且 AM =2 5
3时，则 M的轨迹长度为 4 2 π
3
D. 当x+y=1,z=0时，AM 与平面 AB1D1所成角的正弦值的最大值为 6
3
【答案】AD
【详解】对于 A，在 AB 上取点 H，使 AH
=1
4AB
，在 DC 上取点 K，使 DK
=1
4DC
，因为 AM
=
xAB
+yAD
，x=1
4，y∈0,1
，所以 M点在线段 HK 上，将平面 B1HKC1与平面 AHKD 沿着
HK 展开到同一平面内，如图 1所述，连接 B1D，交于 HK 于点 P，此时 B1,P,D三点共线，B1P+
PD 取得最小值，由勾股定理得 B1H=22+3
2
2=5
2，则 AB1=5
2+1
2=3，B1D=22+32
=13 ，所以 A正确。
对于 B，因为 x=y=1,z=1
2，所以 M为CC1的中点，连接 BM ，取 C1D1中点 N，连接 MN ,BN ,
所以 ∠BMN 为异面直线 BM 与CD1所成角 (或其补角)，易得 MN =2,BM =5,BN =3,所以由余弦定理得：
cos∠BMN =(5)2+ ( 2)2-32
2 5 ⋅2=- 10
10 ,所以异面直线 BM 与CD1所成角的余弦
值为 10
10 ，所以 B错误。
对于 C，当 x+y+z=1时，可得点 M的轨迹在 △A1BD 内(包括边界)．易知 AC1⊥
平面 A1BD，设 AC1与平面 A1BD 相交于点 P．由于 V
A-A1BD =V
A1-ABD =4
3，则点 A
{#{QQABDYCEggAAAAAAAAhCAw0oCkOQkAEAACoGgFAIMAABCQFABAA=}#}
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