甘肃省2024届高三下学期4月二模试题 数学答案

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高三月考 数学答案 第1页（共 7页）
2024 年甘肃省高三月考（4月）
数学试题答案及评分参 考
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
B
C
B
D
D
A
8. 解析：因为
( ) (2 )f x f x
，所以函数
()fx
关于
成轴对称，
又因为
[1, )x 
时，
( )=e e
xx
fx
，所以
()fx
在
[1, )x 
上为增函数，故
()fx
在
( ,1]
为减函数.所以距离
越远值越大，因为
7
1 sin 0
5
 
，而
2
3
1 2 2
，
4
0 log 3 1
，距离
最远的为
7
sin 5
，所以 c最大.
4
log 3 0,1（ ）
且
4 4 4 16
(log 3) (2 log 3) (log )
3
f f f 
，
因为
2
3
1 2 2
且
416
1 log 2
3

，均在函数的增区间
(1, )
上，故分别比较
2
3
2
和
416
log 3
与
3
2
的大小，而
23
3
(2 ) 4
，
2
33
3
3 27 32
( ) (2 )
2 8 8
 
，所以得
2
33
22
，
又因为
3
2
4 4 4
16 3
log log 8 log (4)
32
 
，所以
2
3
416
(log ) (2 )
3
ff
，即
ab
.
综上有：
c a b
，故选 A.
二、选择题：本大题共 3小题，每小题 6分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分（9,10 题答对一个选项得 3分，
11 题答对一个选项得 2分），有选错的得 0分。
11.解析：因为直线
1
l
，
2
l
平行于
x
轴，所以设点
11
( , )P x y
，
22
( , )Q x y
，且由抛物线的光学
性质知直线
PQ
经过抛物线
 
220y px p
的焦点 F，设直线
PQ
的方程为：
2
p
x ny
，
题号
9
10
11
答案
AD
BD
ABD
{#{QQABAQSAogAoAIIAARhCUQVgCEIQkBACCKoGAFAIIAIBiQFABAA=}#}
高三月考 数学答案 第2页（共 7页）
与
22y px
联立，消去 x得
22
02yypn p
，所以有
2
12
y y p
，
2 2 2
12
12 1
2 2 4
y y p
xx pp
   
即
2p
，抛物线的标准方程为
24yx
，故选项 A正确；
对于选项 B，当
12yp
，则有点
(2 ,2 )Ppp
，又因为直线
PQ
经过抛物线
 
220y px p
的焦点 F，则有
2
12
y y p
，所以有
( , )
82
pp
Q
，又根据抛物线的定义
可得：
25 25
| | 2 2 8 2 8 4
ppp
PQ p p   
，所以
2p
.于是有
(4,4)P
，
1
( , 1)
4
Q
.所以得直线
PQ
的方程为
4 3 4 0xy  
，故选项 B正确；
对于选项 C，因为直线
1
l
，
2
l
间的最小距离为
8
，即
28p
，所以
4p
.
又因为光线的路程为
1 1 2 2
5 5 14AP PQ QB x x x p x    
，故选项 C不正确；
对于选项 D，因为直线
PQ
经过抛物线
 
220y px p
的焦点 F，则有
2
12
y y p
，又因为
12 4yy 
，所以
2p
，抛物线的标准方程为
24yx
.又因为抛物
线
24yx
的焦点
 
1,0 ,F
准线为
1x
,所以设直线
:1PQ x my
,与
24yx
联
立,消去
x
,整理得:
24 4 0y my  
,设
1 1 2 2
( , ), ( , ), ( 1, )P x y Q x y M t
，
有
12
12
4,
4.
y y m
yy


易知
32
t
k
,而
12
12
12
11
y t y t
kk xx

 

 
 
2 1 1 2
12
11
11
x y t x y t
xx
 

 
22
21
12
22
12
11
44
11
44
yy
y t y t
yy
   
 
   
   
  

  
  
 
2
3
2
44 2
44
tm tk
m

 
故选项 D正确.
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15 分。
12.
13.
4
22 ba
，
[1,9]
（第一空答对得 2分，第二空答
对得 3分）
14.
12:9:2
14.解析：如图，因为点
P
为
ABC
的垂心，
所以在直角
ABD
中，
sin cosBAD ABD  
，
在直角
ABE
中，
sin cosABE BAE  
，
{#{QQABAQSAogAoAIIAARhCUQVgCEIQkBACCKoGAFAIIAIBiQFABAA=}#}
高三月考 数学答案 第3页（共 7页）
又因为在
PAB
中，
sin sin
PA PB
ABP BAP

，
所以
sin cos
=
sin cos
PA ABP BAC
PB BAP ABC


，
同理
sin cos
=
sin cos
PA ACP BAC
PC CAP ACB


，
所以
: : cos :cos :cos ,PA PB PC BAC ABC ACB   
又因为
: : =4:5:6abc
，所以
3
cos ,
4
BAC
9
cos ,
16
ABC
1
cos ,
8
ACB
所以
: : 12:9:2x y z
.
四、解答题：本大题共 5小题，共 77 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤。
15．（ 13 分）
解：（1）因为
2
，所以
( ) sin(2 )
6
f x x

，故
'( ) 2cos(2 )
6
f x x

，
()fx
在点
1
(0, )
2
处的切线斜率
3)0(' fk
，
所以在点
1
(0, )
2
处的切线方程为
2
1
3xy
，即
01232 yx
. ……………6分
（2）
( ) '( ) cos( )
6
g x f x x

 
，
因为
在
[0, ]
2
上为减函数，所以
0)(' xg
在
[0, ]
2
上恒成立，
即
2sin( ) 0
6
x

 
在
[0, ]
2
上恒成立，化简为
sin( ) 0
6
x

在
[0, ]
2
上恒成立，
因为
[0, ]
2
x
，故
[ , ]
6 6 2 6
x
 
 
，
根据正弦函数的图象与性质可得，只需
26

 
，解得
3
5
，
故
的取值范围为
]
3
5
,0(
. ……………13分
16．（ 15 分）
解法一：（ 1）证明：如图，取
BD
的中点
E
，
连接
AE
和
CE
.
因为
ABD
和
BCD
是底边为
BD
的等腰三角形，
所以
BD AE
且
BD CE
，
{#{QQABAQSAogAoAIIAARhCUQVgCEIQkBACCKoGAFAIIAIBiQFABAA=}#}
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