二次函数与一元二次方程-九年级数学上册同步课堂帮帮帮（沪科版）

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21.3 二次函数与一元二次方程

一、二次函数和一元二次方程之间的关系

函数 y=ax2+bx+c(a≠0)，当 y=0 时，得到一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0).一元二次方程的根就是二次函数

的图象与 x轴交点的横坐标，因此，由二次函数的图象与 x轴的交点情况可以确定一元二次方程根的情

况.

二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与 x轴的交点的情况分别对应着一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的

情况，如下表所示：

b2-4ac 的取值

二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）与 x

轴的交点情况

一元二次方程

ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况

b2-4ac>0

抛物线 y=ax2+bx+c与x轴交于

（x1，0），（x2，0）两点

一元二次方程 ax2+bx+c=0 有____

___个不相等的实数根 x1，x2

b2-4ac=0

抛物线 y=ax2+bx+c与x轴只有一

个公共点（，0）

一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个

________的实数根 x1=x2=_______

b2-4ac<0

抛物线 y=ax2+bx+c与x轴无公共

点

一元二次方程 ax2+bx+c=0 在实数

范围内__________

已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值为 k，求自变量的值，就是解一元二次方程 ax2+bx+c=k(a≠0)；

反过来，解一元二次方程 ax2+bx+c=k(a≠0)就是把二次函数 y=ax2+bx+c–k(a≠0)的函数值看作 0，求自变

量的值．

二、利用二次函数的图象求解一元二次方程

1．方法一

利用抛物线与 x轴的交点坐标的方法求一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的解．

具体过程如下：

（1）在平面直角坐标系中画出二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象；

（2）观察图象，确定抛物线与 x轴的交点坐标；

（3）交点的横坐标即为一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的解．

2．方法二

利用求抛物线与直线交点坐标的方法求一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的解．

具体过程如下：

（1）在平面直角坐标系中画出函数 y=ax2(a≠0)(a=0)与y=–bx–c(b≠0)

[或y=ax2+bx(a≠0)与y=–c或y= ]的图象；

（2）观察图象，确定抛物线与直线的交点坐标；

（3）交点的横坐标即为一元二次方程 ax2+bx+c=0(a=0)的解．

【提示】用图象法解一元二次方程是数形结合思想的具体应用．可类比用一次函数的图象解一元一次

方程的方法，也可在平面直角坐标系中画出二次函数的图象求一元二次方程的解.但由于作图或观察存

在误差，因此通过这种方法求得的方程的根一般是近似的．

1．两，相等，，无解

帮—重点二次函数和一元二次方程之间的关系，利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解

帮—难点二次函数和一元二次方程之间的关系

帮—易错抛物线与 x轴的位置关系

一、抛物线与 x轴的交点

当函数图象与 x轴必有交点时，函数所对应的方程的 Δ≥0；函数图象过原点，即当 x=0 时，y=0；寻求 y<0

及y>0 时x的取值范围，可利用其图象回答．

在二次函数 y=ax2+bx+c中，若 a与c异号，则其图象与 x轴的交点个数为

例 1

A．2个B．1个C．0个D．不能确定

【答案】A

【解析】∵a与c异号，∴ac<0，∴Δ= >0，∴二次函数图象与 x轴的交点个数为 2．故选 A．

二次函数的图象如图所示，若一元二次方程有实数根，则 m的

取值范围是

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】由图可知：y≥-3，即 ax2+bx≥-3，∵ax2+bx+m=0，∴ax2+bx=-m，∴-m≥-3，∴m≤3．故选 A．

如图，将二次函数 y=31x2-999x+892的图形画在坐标平面上，判断方程 31x2-999x+892=0 的两根，

下列叙述正确的是

A．两根相异，且均为正根 B．两根相异，且只有一个正根

C．两根相同，且为正根 D．两根相同，且为负根

【答案】A

【解析】∵二次函数 y=31x2-999x+892的图象与 x轴有两个交点，且与 x轴的正半轴相交，∴方程 31x2-

999x+892=0 有两个正实根．故选 A．

已知二次函数 y=2x2-mx-m2．

（1）求证：对于任意实数 m，二次函数 y=2x2-mx-m2的图象与 x轴总有公共点；

（2）若这个二次函数的图象与 x轴有两个公共点 A，B，且 B点坐标为（1，0），求 A点坐标．

例 2

例 3

例 4

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