新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第1讲　高效演练分层突破(9)

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[基础题组练]
1．已知数列，，，，，…，则 5是它的(　　)
A．第 19 项　　　　　　 B．第 20 项
C．第 21 项 D．第 22 项
解析：选C．数列，，，，，…中的各项可变形为，，，，，…，
所以通项公式为 an＝＝，令＝5，得n＝21.
2．已知数列{an}满足：∀m，n∈N*，都有 an·am＝an＋m，且 a1＝，那么 a5＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选A．因为数列{an}满足：∀m，n∈N*，都有 an·am＝an＋m，且a1＝，所以 a2＝
a1a1＝，a3＝a1·a2＝.那么 a5＝a3·a2＝.故选 A．
3．在数列{an}中，“|an＋1|＞an”是“数列{an}为递增数列”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B．“|an＋1|＞an”⇔an＋1＞an或－an＋1＞an，充分性不成立，数列{an}为递增数
列⇔|an＋1|≥an＋1＞an成立，必要性成立，所以“|an＋1|＞an”是“数列{an}为递增数列”的必
要不充分条件．故选 B．
4．(多选)已知数列{an}满足 an＋1＝1－(n∈N*)，且 a1＝2，则(　　)
A．a3＝－1 B．a2 019＝
C．S3＝ D．S2 019＝
解析：选ACD．数列{an}满足 a1＝2，an＋1＝1－(n∈N*)，可得 a2＝，a3＝－1，a4＝
2，a5＝，…所以 an－3＝an，数列的周期为 3.a2 019＝a672×3＋3＝a3＝－1.S3＝，S2 019＝.
5．(2020·广东广州天河毕业班综合测试(一))数列{an}满足 a1＝1，对任意 n∈N*，都有
an＋1＝1＋an＋n，则＋＋…＋＝(　　)
A． B．2
C． D．
解析：选C．由 an＋1＝1＋an＋n，得an＋1－an＝n＋1，
则an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋1＝，
则＝＝－，
则＋＋…＋＝2×[＋＋…＋]＝2×＝.故选 C．
6．若数列{an}满足 a1·a2·a3·…·an＝n2＋3n＋2，则数列{an}的通项公式为________．
解析：a1·a2·a3·…·an＝(n＋1)(n＋2)，
当n＝1时，a1＝6；
当n≥2时，
1
故当 n≥2时，an＝，
所以 an＝
答案：an＝
7．(2020·黑龙江大庆一中模拟)数列{an}的前 n项和 Sn满足 a2＝2，Sn＝n2＋An，则 A＝
________，数列的前 n项和 Tn＝________．
解析：因为 a2＝S2－S1＝(2＋2A)－＝2，所以 A＝.
所以当 n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－＝n，当n＝1时，a1＝S1＝1满足上式，所以 an
＝n.
所以＝＝－，所以 Tn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.
答案：：　
8．(2020·重庆(区县)调研测试)已知数列{an}的前 n项和为 Sn，a1＝1，2Sn＝(n＋1)an，
则an＝________．
解析：由2Sn＝(n＋1)an知，当n≥2时，2Sn－1＝nan－1，所以 2an＝2Sn－2Sn－1＝(n＋1)an
－nan－1，所以(n－1)an＝nan－1，
所以当 n≥2时，＝，所以＝＝1，所以 an＝n.
答案：n
9．已知数列{an}的前 n项和为 Sn.
(1)若Sn＝(－1)n＋1·n，求 a5＋a6及an；
(2)若Sn＝3n＋2n＋1，求 an.
解：(1)因为 a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2，
当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)＝
(－1)n＋1·[n＋(n－1)]＝(－1)n＋1·(2n－1)，
又a1也适合此式，所以 an＝(－1)n＋1·(2n－1)．
(2)因为当 n＝1时，a1＝S1＝6；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2×3n－1＋2，
由于 a1不适合此式，所以 an＝
10．(2020·衡阳四校联考)已知数列{an}满足 a1＝3，an＋1＝4an＋3.
(1)写出该数列的前 4项，并归纳出数列{an}的通项公式；
(2)证明：＝4.
解：(1)a1＝3，a2＝15，a3＝63，a4＝255.因为 a1＝41－1，a2＝42－1，a3＝43－1，a4＝
44－1，…，所以归纳得 an＝4n－1.
(2)证明：因为 an＋1＝4an＋3，所以＝＝＝4.
[综合题组练]
1．(2020·安徽江淮十校第三次联考)已知数列{an}满足＝2，a1＝20，则的最小值为(
2
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