3.1.1 椭圆及其标准方程-2020-2021学年高二数学新教材配套学案（人教A版选择性必修第一册）

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3.1.1　椭圆及其标准方程

【学习目标】

课程标准学科素养

1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点)

2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)

3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)

1、直观想象

2、数学运算

3、逻辑推理

【自主学习】

1．椭圆的定义

把平面内与两个定点 F1，F2的距离的和等于的点的轨迹叫做椭圆，这叫做

椭圆的焦点，叫做椭圆的焦距，焦距的称为半焦距．

思考：(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什

么？

（2）椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什

么？

2．椭圆的标准方程

焦点在 x轴上焦点在 y轴上

标准方程 ) ＋＝1(a＞b＞0)

焦点 (－c,0)与(c,0)

a，b，c的关系 c2＝

【小试牛刀】

1．已知 F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到 F1，F2两点的距离之和等于 8的点的轨迹是椭圆．(

)

2．已知 F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到 F1，F2两点的距离之和等于 6的点的轨迹是椭圆．(

)

3．平面内到点 F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点 M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨

迹是椭圆．(　　)

4．平面内到点 F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆．(　　)

5．设 P是椭圆＋＝1上的点，若 F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(　　)

A．4　　　 B．5

C．8 D．10

6．椭圆的两个焦点坐标分别为 F1(0，－8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为

20，则此椭圆的标准方程为(　　)

A．＋＝1 B．＋＝1

C．＋＝1 D．＋＝1

【经典例题】

题型一　求椭圆的标准方程

用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤

(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在 x轴上，还是在 y轴上，还是两个坐标轴都有可能．

(2)设方程：根据上述判断设方程＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)或整式形式 mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞

0，m≠n)．

(3)找关系：根据已知条件建立关于 a，b，c(或m，n)的方程组．

例1 求满足下列条件的椭圆的标准方程：

(1)两个焦点的坐标分别为 F1(－4,0)，F2(4,0)，并且椭圆上一点 P与两焦点的距离的和等于

10；

(2)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,3)；

(3)求焦点在坐标轴上，且经过两点(2，－)和的椭圆的标准方程．

[跟踪训练]1 求与椭圆＋＝1有相同焦点，且过点(3，)的椭圆的标准方程．

题型二　　利用椭圆定义求轨迹方程

与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，

1.定义法求轨迹方程

如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出

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