8.4空间点、直线、平面之间的位置关系-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义

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8.4　空间点、直线、平面之间的位置关系
【知识点一】平面的概念及点、线、面之间的位置关系
2. 点、线、面之间的位置关系
点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达
位置关系 符号表示
点P在直线 AB 上P∈AB
点C不在直线 AB 上C∉AB
点M在平面 AC 内M∈平面 AC
点A1不在平面 AC 内A1∉平面 AC
直线 AB 与直线 BC 交于点 B AB∩BC＝B
直线 AB 在平面 AC 内AB⊂平面 AC
直线 AA1不在平面 AC 内AA1⊄平面 AC
　1.平面的概念
(1)平面的概念：
广阔的草原、平静的湖面都
给我们以平面的形象．和点、
直线一样，平面也是从现实
世界中抽象出来的几何概念．
(2)平面的画法：
正方形的直观图作为平面的直观图
一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被
(3)平面的表示方法
平面通常用希腊字母
α，β，γ…
表示，也可以用
平行四边形的两个相对顶点
1
3.平面的基本性质
公理(推论)文字语言 图形语言 符号语言 作用
公理 1
如果一条直线上的两点在一
个平面内，那么这条直线上
所有的点都在这个平面内
⇒AB⊂α
(1)判定直线在平面
内；
(2)证明点在平面内
公理 2
如果两个平面有一个公共
点，那么它们还有其他公共
点，这些公共点的集合是经
过这个公共点的一条直线
⇒α∩β＝l
且P∈l
(1)判断两个平面是
否相交；
(2)判定点是否在直
线上；
(3)证明点共线问题
公理 3
经过不在同一条直线上的三
点，有且只有一个平面
A，B，C不共线
⇒A，B，C确定一
个平面 α
(1)确定一个平面的
依据；
(2)证明平面重合；
(3)证明点、线共面
推论 1
经过一条直线和这条直线外
的一点，有且只有一个平面
A∉l⇒A和l确定一
个平面 α
推论 2
经过两条相交直线，有且只
有一个平面
a∩b＝A⇒a，b确
定一个平面 α
推论 3
经过两条平行直线，有且只
有一个平面
a∥b⇒a，b确定一
个平面 α
【知识点二】空间两直线的位置关系
1.异面直线
(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线.
(2)异面直线的画法(衬托平面法)
如图①②③所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬
托.
(3)判断两直线为异面直线的方法
① 定义法；②两直线既不平行也不相交.
2
2.空间两条直线的三种位置关系
【知识点三】直线与平面的位置关系
位置关系 直线 a在平面 α内直线 a在平面 α外
直线 a与平面 α相交 直线 a与平面 α平行
公共点 有无数个公共点 只有
1
个 公共点 没有公共点
符合表示 a⊂αa∩α＝A a∥α
图形表示
【知识点四】平面与平面的位置关系
位置关系 两平面平行 两平面相交
公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上)
符号表示 α ∥ β α ∩ β ＝ l
图形表示
【例 1-1】如图,用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．
【变式 1】　若点 A在直线 b上，b在平面 β内，则点 A，直线 b，平面 β之间的关系可以
记作________．(填序号)
①A∈b∈β；② A∈b⊂β；③ A⊂b⊂β；④ A⊂b∈β.
【变式 2】空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是______．
【例 1-2】如图，已知：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α.
【变式 1】(多选题)如图所示，在正方体
ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1中，
O
为
DB
的中点，直线
A
1
C
交平
3
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