2021年二轮复习解答题专题二：几何图形的证明或计算（解析版）
2021 年二轮复习解答题专题二：
几何图形的证明或计算
方法点睛
与圆有关问题的解题技巧
典例分析
例：（2020 平顶山一模)已知，如图，
AB
是⊙
O
的直径，射线
AM
⊥
AB
于点
A
，点
D
在
AM
上，连接
OD
交⊙
O
于点
E
，过点
D
作
DC
＝
DA
，交⊙
O
于点
C
(
A
，
C
不重合)，连接
BC
，
CE
.
(1)求证：
CD
是⊙
O
的切线；
(2)若四边形
OECB
是菱形，⊙
O
的直径
AB
＝2，求
AD
的长．
分析：(1)依据 SSS 证明△
OCD
≌△
OAD
，从而得到∠
OCD
＝∠
OAD
＝90 °，由此即可证得
CD
是⊙
O
的切线；(2)依据菱形的性质得到
1
OE
＝
CE
，则△
EOC
为等边三角形，则∠
CEO
＝60 °，依据平行线的
性质可知∠
DOA
＝60 °，利用特殊锐角三角函数可求得
AD
的长．
解 ： (1) 证 明 ： 连 接
OC ．
∵
OA
＝
OC
，
OD
＝
OD
，
DA
＝
DC
，∴△
AOD
≌△
COD．
∴∠
OAD
＝∠
OCD．
∵
AM
⊥
AB
，∴∠
OAD
＝90°.∴∠
OCD
＝90°.
∴
OC
⊥
CD．
∴
CD
是⊙
O
的切线．
(2)解：∵四边形
OECB
是菱形，∴
OE
＝
EC．
又
OE
＝
OC
，∴
OE
＝
EC
＝
OC．
∴∠
COE
＝60°.
∴∠
AOD
＝60°.在 Rt△
AOD
中，∠
AOD
＝60°，
AO
＝
AB
＝×2＝
1，∴
AD
＝
AO
＝.
专题过关
1、（2020 河南中考 20 题）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图
三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根
据实际需要，发明了一种简易操作工具﹣﹣三分角器．图 1是它的示意图，其中 AB 与半圆
O的直径 BC 在同一直线上，且 AB 的长度与半圆的半径相等；DB 与AC 垂直于点 B，DB
足够长．
使用方法如图 2所示，若要把∠MEN 三等分，只需适当放置三分角器，使 DB 经过
∠MEN 的顶点 E，点 A落在边 EM 上，半圆 O与另一边 EN 恰好相切，切点为 F，则
EB，EO 就把∠MEN 三等分了．
为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求
证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图 2，点 A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点 B， ．
求证： ．
2
【解答】已知：如图 2，点 A，B，O，C在同一直线上， EB⊥AC，垂足为点 B，AB＝
OB，EN 切半圆 O于F．
求证：EB，EO 就把∠MEN 三等分，
证明：∵EB⊥AC，
∴∠ABE＝∠OBE＝90°，
∵AB＝OB，BE＝BE，
∴△ABE≌△OBE（SAS），
1∴∠ ＝∠2，
∵BE⊥OB，
∴BE 是⊙O的切线，
∵EN 切半圆 O于F，
2∴∠ ＝∠3，
1∴∠ ＝∠2＝∠3，
∴EB，EO 就把∠MEN 三等分．
故答案为：AB＝OB，EN 切半圆 O于F；EB，EO 就把∠MEN 三等分．
2、如图，在△
ABC
中，
AB
＝
AC
，以
AB
为直径的⊙
O
交
AC
边于点
D
，过点
C
作
CF
∥
AB
，
与过点
B
的切线交于点
F
，连接
BD．
(1)求证：
BD
＝
BF
；
(2)若
AB
＝10，
CD
＝4，求
BC
的长．
(1)证明：∵
AB
＝
AC
，
∴∠
ABC
＝∠
ACB．
∵
CF
∥
AB
，∴∠
ABC
＝∠
FCB．
∴∠
ACB
＝∠
FCB
，即
CB
平分∠
DCF
.∵
AB
是⊙
O
的直径，
∴∠
ADB
＝90°，即
BD
⊥
AC．
∵
BF
是⊙
O
的切线，
∴
BF
⊥
AB．
∵
CF
∥
AB
，∴
BF
⊥
CF
.∴
BD
＝
BF
.
(2)解：∵
AC
＝
AB
＝10，
CD
＝4，∴
AD
＝
AC
－
CD
＝10－4＝6.在 Rt△
ABD
中，
BD
2＝
AB
2－
AD
2＝102－62＝64.在 Rt△
BDC
中，
BC
＝＝＝4，即
BC
的长为 4.
3、(2020 平顶山一模)已知，如图，
AB
是⊙
O
的直径，射线
AM
⊥
AB
于点
A
，点
D
在
AM
3
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