第11讲 对数函数及其性质-人教A版高中数学必修一讲义（解析版）

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知识点 1　对数函数的概念
一般地，把函数 y＝logax (a>0，且 a≠1)叫做对数函数，其中 x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
知识点 2　对数函数的图象和性质
a＞1 0＜a＜1
图象
性
质
定义域 (0，＋∞)
值域 R
过定点 过定点(1,0)，即 x＝1时，y＝0
函数值 当 0＜x＜1时，y＜0当0＜x＜1时，y＞0
第十一讲 对数函数及其性质
知识通关
教材要点 学科素养 学考 高考 考法指津 高考考向
1.对数函数的概念 数学抽象 水平 1 水平 1 1. 掌 握 对 数 函 数 定 义
域、值域的求法。
2.能根据对数函数的图
像 说 明 对 数 函 数 的 性
质。
3.掌握对数函数的单调
性，会进行同底对数和
不 同 底 对 数 大 小 的 比
较。
【考查内容】对数函数
分段函数求值；对数函
数图像的变换；复合函
数的定义域、值域、单
调性、比较大小、求参
数。
【考查题型】选择题、
填空题
【分值情况】5--10 分
2.对数函数的图像与性质 直观想象 水平 1 水平 2
3.指数函数与对数函数的
关系 数学运算 水平 1 水平 1
4.对数函数图像的变换 直观想象 水平 2 水平 2
的变化 当x＞1时，y＞0当x＞1时，y＜0
单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
知识点 3　反函数
（1）对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)与指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)互为反函数。
（2）①互为反函数的两个函数的图像关于直线 对称；②若点 在 图像上，则点
必在其反函数图像上，反之也成立。
（3）互为反函数的函数具有相同的单调性。
题型一　对数函数的 概念及应用
规律方法　判断一个函 数是对数函数的方法
例1、下列函数表达式中，是对数函数的有(　　)
①y＝logx2；② y＝logax(a∈R)；③ y＝log8x；
④y＝ln x；⑤ y＝logx(x＋2)；⑥ y＝2log4x；
⑦y＝log2(x＋1)．
A．1个　　B．2个 C．3个 　 D．4个
解析：　
由于①中自变量出现在底数上，
∴① 不是对数函数；
由于②中底数 a R∈ 不能保证 a>0，且 a≠1，
∴② 不是对数函数；
由于⑤⑦的真数分别为(x＋2)，(x＋1)，
∴⑤⑦ 也不是对数函数；
由于⑥中 log4x的系数为 2，
∴⑥ 也不是对数函数；
只有③④符合对数函数的定义．
答案　B　
【变式训练 1】　
已知下列函数：
① ；
② ；
③ ；
④
其中是对数函数的是
解析：
对于①，真数是 ，故①不是对数函数；
对于②， 的系数是 2，而不是 1，
且真数是 ，不是 ，故②不是对数函数；
对于③， 的系数为 1，真数是 ，故③是对
数函数；
对于④，底数 ，当
时，底数小于 0，故④不是对数函数。
答案　③
题型二　对数型函数的定义域
规律方法　求与对数函数有关的函数 的定义域时
应遵循的原则
例2、求下列函数的定义域：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）
解析：
（1）要使函数有意义，需要
即
∴
∴定义域为
（2）要使函数有意义，需
即
∴
∴定义域为
（3）令 ，
即 ，得
∴定义域为
（4）要使函数有意义，则 必须满足：
即
【变式训练 2】　求下列函数的定义域：
（1）f(x)＝lg(x－2)＋；
（2）f(x)＝log(x＋1)(16－4x)；
(1)分母不能为 0.
(2)根指数为偶数时，被开方数非负．
(3)对数的真数大于 0，底数大于 0且不为 1.
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