第十二章 12.3数列问题-教师版

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1．等差数列{an}的前 n项和为 Sn，若 a1＝1，S2＝a3，且 a1，a2，ak成等比数列，则 k等于(　　)

A．1 B．2 C．3 D．4

答案　D

解析　设公差为 d，则 2＋d＝1＋2d，

∴d＝1，∴an＝n，

由a＝a1·ak，得 4＝1×k，∴k＝4.

2．已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前 100 项和为(　　)

A. B.

C. D.

答案　A

解析　设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d.

∵a5＝5，S5＝15，∴∴

∴an＝a1＋(n－1)d＝n.

∴＝＝－，

∴数列的前 100 项和为＋＋…＋＝1－＝.

3．已知等比数列{an}的公比 q>0，前 n项和为 Sn.若2a3，a5,3a4成等差数列，a2a4a6＝64，则 q＝

第 1 课时

进门测

________，Sn＝________.

答案　2　

解析　由a2a4a6＝64，得 a＝64，解得 a4＝4.

由2a3，a5,3a4成等差数列，得 2a4q＝3a4＋，

即8q＝12＋，解得 q＝2或q＝－(舍去)．

又a1q3＝4，所以 a1＝，所以 Sn＝＝.

4．设 Sn是数列{an}的前 n项和，且 a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则 Sn＝____________.

答案　－

解析　由题意，得 S1＝a1＝－1，又由 an＋1＝SnSn＋1，得 Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，因为 Sn≠0，所以＝1，即

－＝－1，故数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列，所以＝－1－(n－1)＝－n，所以 Sn＝

－.

无

题型一　等差数列、等比数列的综合问题

例1　已知数列{an}的首项为 1，Sn为数列{an}的前 n 项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中 q>0，n∈N*.

(1)若a2，a3，a2＋a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；

作业检查

阶段训练

第 2 课时

(2)设双曲线 x2－＝1的离心率为 en，且 e2＝2，求 e＋e＋…＋e.

解　(1)由已知，Sn＋1＝qSn＋1，得 Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减得 an＋2＝qan＋1，n≥1.

又由 S2＝qS1＋1得a2＝qa1，故 an＋1＝qan对所有 n≥1都成立．所以，数列{an}是首项为 1，公比为 q

的等比数列．

从而 an＝qn－1.由a2，a3，a2＋a3成等差数列，可得 2a3＝a2＋a2＋a3，所以 a3＝2a2，故 q＝2.

所以 an＝2n－1(n∈N*)．

(2)由(1)可知，an＝qn－1，

所以双曲线 x2－＝1的离心率 en＝＝.

由e2＝＝2，解得 q＝，

所以 e＋e＋…＋e

＝(1＋1)＋(1＋q2)＋…＋[1＋q2(n－1)]

＝n＋[1＋q2＋…＋q2(n－1)]

＝n＋＝n＋(3n－1)．

思维升华　等差数列、等比数列综合问题的解题策略

(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需

要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．

(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有

等于 1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题

的影响也是巨大的．

　已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前 n项和为 Sn(n∈N*)，且 S3＋a3，S5＋

a5，S4＋a4成等差数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

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