专题2.2 函数的单调性与最值（解析版）

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第二篇函数、导数及其应用

专题 2.2 函数的单调性与最值

【考纲要求】

理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义

【命题趋势】

函数的单调性和最值是高考中的热点问题，考查内容经常是利用单调性求最值或者求参数的取值范围

【核心素养】

本讲内容主要考查逻辑推理和数学运算的核心素养

【素养清单•基础知识】

1．增函数、减函数

定义：设函数 f(x)的定义域为 I：

(1)增函数：如果对于定义域 I内某个区间 D上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2)，

那么就说函数 f(x)在区间 D上是增函数．

(2)减函数：如果对于定义域 I内某个区间 D上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2)，

那么就说函数 f(x)在区间 D上是减函数．

增(减)函数定义中的 x1，x2的三个特征

一是任意性；二是有大小，即 x1<x2(x1>x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．

2．单调性、单调区间

若函数 y＝f(x)在区间 D上是增函数或减函数，则称函数 y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D叫

做函数 y＝f(x)的单调区间.

有关单调区间的两个防范

(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．

(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连

接．

3．函数的最值

设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M满足：

(1)对于任意的 x∈I，都有 f(x)≤M或f(x)≥M.

(2)存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M.

那么，我们称 M是函数 y＝f(x)的最大值或最小值．

函数最值存在的两条结论

(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．

(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．

【素养清单•常用结论】

在公共定义域内：

(1)函数 f(x)单调递增，g(x)单调递增，则 f(x)＋g(x)是增函数；

(2)函数 f(x)单调递减，g(x)单调递减，则 f(x)＋g(x)是减函数；

(3)函数 f(x)单调递增，g(x)单调递减，则 f(x)－g(x)是增函数；

(4)函数 f(x)单调递减，g(x)单调递增，则 f(x)－g(x)是减函数；

(5)若k>0，则 kf(x)与f(x)单调性相同；若 k<0，则 kf(x)与f(x)单调性相反；

(6)函数 y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与 y＝－f(x)，y＝的单调性相反；

(7)复合函数 y＝f[g(x)]的单调性与 y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”．

【真题体验】

1.【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】已知，则（）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

即

则．

故选 B．

【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养．采取中间量法，根据指数函数和对

数函数的单调性即可比较大小．

2．【2019 年高考天津理数】已知，，，则的大小关系为（）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】因为，

，

，即，

所以 .

故选 A.

【名师点睛】本题考查比较大小问题，关键是选择中间量和利用函数的单调性进行比较.

3．【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】若 a>b，则（）

A．ln(a−b)>0 B．3a<3b

C．a3−b3>0 D．│a│>│b│

【答案】C

【解析】取，满足，但，则 A错，排除 A；

由，知 B错，排除 B；

取，满足，但，则 D错，排除 D；

因为幂函数是增函数，，所以，即 a3−b3>0，C正确.

故选 C．

【名师点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的性质、幂函数的性质及绝对值的意义，渗透了逻辑推

理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．

4．【2019 年高考北京理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度

满足 m2−m1=，其中星等为 mk的星的亮度为 Ek（k=1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星

等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）

A．1010.1 B．10.1

C．lg10.1 D．10−10.1

【答案】A

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