第八章 8.7立体几何中向量方法-教师版

3.0 envi 2025-02-11 38 4 1000.88KB 21 页 3知币

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1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)平面的单位法向量是唯一确定的．(　×　)

(2)若两平面的法向量平行，则两平面平行．(　√　)

(3)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．(　√　)

(4)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．(　×　)

(5)两异面直线夹角的范围是(0，]，直线与平面所成角的范围是[0，]，二面角的范围是[0，π]．(

√　)

(6)若二面角 α－a－β的两个半平面 α，β的法向量 n1，n2所成角为 θ，则二面角 α－a－β的大小是 π

－θ.(　×　)

2、已知 A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面 ABC 法向量的是(　　)

A．(－1,1,1) B．(1，－1,1)

C．(－，－，－) D．(，，－)

答案　C

解析　设n＝(x，y，z)为平面 ABC 的法向量，

则化简得

∴x＝y＝z.故选 C.

3、如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线 BC1与直线 AB1

所成角的余弦值为(　　)

A. B.

第 1 课时

进门测

C. D.

答案　A

解析　设CA ＝2，则 C(0,0,0) ，A(2,0,0) ，B(0,0,1) ，C1(0,2,0) ，B1(0,2,1) ，可得向量AB1 ＝(－

2,2,1)，BC1＝(0,2，－1)，由向量的夹角公式得 cos〈AB1，BC1〉＝＝＝，故选 A.

4、设 u，v分别是平面 α，β的法向量，u＝(－2,2,5)，当 v＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为___

_____；当 v＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为________．

答案　α⊥β　α∥β

解析　当v＝(3，－2,2)时，u·v＝(－2,2,5)·(3，－2,2)＝0⇒α⊥β.

当v＝(4，－4，－10)时，v＝－2u⇒α∥β.

5、如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形 ABCD 的中心，M是D1D的中点，N

是A1B1的中点，则直线 ON，AM 的位置关系是________．

答案　垂直

解析　以A为原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为 x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

设正方体棱长为 1，则 A(0,0,0)，M(0,1，)，O(，，0)，

N(，0,1)，AM·ON＝(0,1，)·(0，－，1)＝0，

∴ON 与AM 垂直．

无

题型一　利用空间向量证明平行问题

例1 如图所示，平面 PAD⊥平面 ABCD，ABCD 为正方形，△PAD 是直角三角形，且 PA＝AD＝

2，E，F，G分别是线段 PA，PD，CD 的中点．求证：PB∥平面 EFG.

证明　∵平面 PAD⊥平面 ABCD，ABCD 为正方形，

△PAD 是直角三角形，且 PA＝AD，

∴AB，AP，AD 两两垂直，以 A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，

则A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0，0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1，2,0)．

∴PB＝(2,0，－2)，FE＝(0，－1,0)，FG＝(1,1，－1)，

设PB＝sFE＋tFG，

即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)，

作业检查

阶段训练

第 2 课时

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