第八章 8.5直线、平面垂直-教师版

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1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线 l与平面 α内的无数条直线都垂直，则 l⊥α.(　×　)
(2)垂直于同一个平面的两平面平行．(　×　)
(3)直线 a⊥α，直线 b⊥α，则 a∥b.(　√　)
(4)若α⊥β，a⊥β⇒a∥α.(　×　)
(5)若直线 a⊥平面 α，直线 b∥α，则直线 a与b垂直．(　√　)
2、下列命题中不正确的是(　　)
A．如果平面 α⊥平面 β，且直线 l∥平面 α，则直线 l⊥平面 β
B．如果平面 α⊥平面 β，那么平面 α内一定存在直线平行于平面 β
C．如果平面 α不垂直于平面 β，那么平面 α内一定不存在直线垂直于平面 β
D．如果平面 α⊥平面 γ，平面 β⊥平面 γ，α∩β＝l，那么 l⊥γ
答案　A
解析　根据面面垂直的性质，知 A不正确，直线 l可能平行平面 β，也可能在平面 β内．
3、设平面 α与平面 β相交于直 线 m，直线 a在平面 α内，直 线 b在 平面 β内，且 b⊥m，则
“α⊥β”是“a⊥b”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
第 1 课时
进门测
1
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　若 α⊥β，因为 α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得 b⊥α，又
a⊂α，所以 a⊥b；反过来，当 a∥m时，因为 b⊥m，且 a，m共面，一定有 b⊥a，但不能保证
b⊥α，所以不能推出 α⊥β.
4、对于四面体 ABCD，给出下列四个命题：
①若AB＝AC，BD＝CD，则 BC⊥AD；
②若AB＝CD，AC＝BD，则 BC⊥AD；
③若AB⊥AC，BD⊥CD，则 BC⊥AD；
④若AB⊥CD，AC⊥BD，则 BC⊥AD.
其中为真命题的是(　　)
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
答案　D
解析　①如图，取 BC 的中点 M，连接 AM，DM，由 AB＝AC⇒AM⊥BC，同
理DM⊥BC⇒BC⊥平面 AMD，而 AD⊂平面 AMD，故 BC⊥AD.④设A在平面
BCD 内 的 射 影 为 O， 连 接 BO ，CO ，DO ， 由 AB⊥CD⇒BO⊥CD ， 由
AC⊥BD⇒CO⊥BD⇒O为△BCD 的垂心⇒DO⊥BC⇒AD⊥BC.
5、在三棱锥 P－ABC 中，点 P在平面 ABC 中的射影为点 O.
(1)若PA＝PB＝PC，则点 O是△ABC 的________心．
(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点 O是△ABC 的________心．
2
答案　(1)外　(2)垂
解析　(1)如图 1，连接 OA，OB，OC，OP，
在Rt△POA、Rt△POB 和Rt△POC 中，PA＝PC＝PB，
所以 OA＝OB＝OC，即 O为△ABC 的外心．
(2)如图 2，延长 AO，BO，CO 分别交 BC，AC，AB 于H，D，G.
∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，
∴PC⊥平面 PAB，AB⊂平面 PAB，∴PC⊥AB，
又AB⊥PO，PO∩PC＝P，
∴AB⊥平面 PGC，
又CG⊂平面 PGC，
∴AB⊥CG，即 CG 为△ABC 边AB 的高．
同理可证 BD，AH 为△ABC 底边上的高，
即O为△ABC 的垂心.
无
题型一　直线与平面垂直的判定与性质
作业检查
阶段训练
第 2 课时
3
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