第09讲 解三角形的题型与方法(分层训练)(解析版)
第九讲：解三角形的题型与方法(分层训练)
基础组
一、选择题
1．(2021•四川模拟)若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝
2π
3
，b＝2
√
3
，且△ABC的
面积为
3
√
3
2
，则a＝( )
A．3；B．4；C．
√
21
；D．3
√
3
【答案】C．
【解析】∵A＝
2π
3
，b＝2
√
3
，且△ABC的面积为
3
√
3
2
，∴
1
2
bcsinA
¿3
√
3
2
，即
1
2×2
√
3× c×
√
3
2=3
√
3
2
，
∴解得c
¿
√
3
，又∵a2＝b2+c22﹣bccosA＝12+3 2﹣
×2
√
3×
√
3×(−1
2)=¿
21，解得a
¿
√
21
．
2．(2021•榆林一模)在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若
A=π
3
，b＝4，△ABC的面
积为
3
√
3
，则sinB＝( )
A．
2
√
39
13
；B．
√
39
13
；C．
5
√
2
13
；D．
3
√
13
13
【答案】A．
【解析】因为
S=1
2bcsinA=
√
3c=3
√
3
，所以c＝3，由余弦定理可得：a2＝b2+c22﹣bccosA＝13，
可得
a=
√
13
，又由正弦定理可得：
a
sinA =b
sinB
，所以
sinB=bsinA
a=2
√
39
13
．
1
3．(2020秋•南阳期末)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为S，且
a=
√
2
，4S＝b2+c22﹣ ，则△ABC外接圆的面积为( )
A．4π；B．2π；C．π；D．
π
2
【答案】C．
【解析】∵△ABC的面积为S，且4S＝b2+c22﹣ ，a
¿
√
2
，∴可得：4S＝b2+c2﹣a2，
4∴
×1
2
bcsinA＝2bccosA，可得：tanA＝1，∵A(0∈，π)，∴A
¿π
4
，
∴则△ABC外接圆的半径R
¿a
2sinA =
√
2
2×
√
2
2
=¿
1，∴则△ABC外接圆的面积S＝πR2＝π．
4．(2020秋•新乡期末)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，且
4S
tanC =b2
cosC+bccosB，a+b＝2，c
¿
√
3
，则S＝( )
A．
√
3
4
；B．
√
3
6
；C．
1
6
；D．
√
3
12
【答案】D．
【解析】因为
4S⋅cosC
sinC =b2cosC +bccosB
，所以2abcosC＝b2cosC+bccosB，
所以2sinAcosC＝sinBcosC+sinCcosB＝sin(B+C)＝sinA，因为sinA≠0，所以
cosC =1
2
，sinC
¿
√
3
2
，
由
cosC =1
2=a2+b2− c2
2ab =(a+b)2−3−2ab
2ab
，得
ab=1
3
，所以
S=1
2absinC=
√
3
12
．
5．(2020秋•宁县校级期末)设a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的边，sin2A+sin2Bsin﹣AsinB＝
sin2C，且满足ab＝4，则△ABC的面积为( )
2
A．1；B．2；C．
√
2
；D．
√
3
【答案】D．
【解析】∵sin2A+sin2Bsin﹣AsinB＝sin2C，∴由正弦定理得a2+b2﹣ab＝c2，即a2+b2﹣c2＝ab．
cos∴C
¿a2+b2−c2
2ab =ab
2ab =1
2
，即C
¿π
3
，∵ab＝4，∴△ABC的面积S
¿1
2absinC =1
2×4×
√
3
2=
√
3
．
6．(2020秋•太原期末)我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在△ABC
中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积
S=1
2
√
(ab)2−(a2+b2− c2
2)
2
．根据此公式，若
acosB+(b2﹣c)cosA＝0，且b2+c2﹣a2＝4，则△ABC的面积为( )
A．
√
6
；B．
2
√
3
；C．
√
3
；D．
3
√
2
【答案】C．
【解析】∵acosB+(b2﹣c)cosA＝0，∴sinAcosB+(sinB2sin﹣C)cosA＝0，
sin∴AcosB+sinBcosA2sin﹣CcosA＝0，∴sin(A+B) 2sin﹣CcosA＝0，∴sinC(1 2cos﹣A)＝0，
sin∵C≠0，∴1 2cos﹣A＝0，解得：cosA
¿1
2=b2+c2−a2
2bc
，∴b2+c2﹣a2＝bc＝4，
∴S
¿1
2
√
(bc )2−(b2+c2− a2
2)
2
=1
2
√
42−(4
2)
2
=
√
3
．
7．(2021•渭南模拟)我国古代数学家赵爽利用弦图巧妙地证明了勾股定理，弦图是由四个全等直角三
角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)．如果内部小正方形的内切圆面积为
π
4
，外部大正方形的
外接圆半径为
5
√
2
2
，直角三角形中较大的锐角为α，那么tan
α
2=¿
( )
3
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