第07讲 圆的一般方程（解析版）

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圆的一般方程
一、圆的一般方程
（1）当 D2+E2-4F>0时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0
表示以(-
D
2
,-
E
2
)为圆心,
1
2
√
D2+E2- 4 F
为半径的圆,
将方程 x
2
+y
2
+Dx+Ey+F=0，配方可得
(x+D
2)
2
+¿
（2）当 D2+E2-4F=0时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0，表示一个点(-
D
2
,-
E
2
)
（3）当 D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形.
1.二元二次方程要想表示圆,需x2和y2的系数相同且不为 0,没有 xy 这样的二次项.
2.几个常见圆的一般方程
(1)过原点的圆的方程:x2+y2+Dx+Ey=0(D,E不全为 0),
(2)圆心在 y轴上的圆的方程:x2+y2+Ey+F=0(E2-4F>0);
(3)圆心在 x轴上的圆的方程,x2+y2+Dx+F=0(D2-4F>0);
(4)圆心在 x轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Dx=0(D≠0);
(5)圆心在 y轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Ey=0(E≠0).
典型例题
圆的一般方程
1
1. (2019·广东省佛山市·单元测试)方程
x2+y2+4x − 2y+5m=0
表示圆的条件是
A.
m<1
B.
m>1
C.
m<1
4
D.
1
4<m<1
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查圆的一般方程成立的条件，属于基础题
.
利用
D2+E2−4F>0
求出 m或
者配方利用
r2
大于 0求m．
【解答】
解法一：方程 x2
+y
2
+4x − 2y+5m=0
表示圆的条件是 42
+(−2)
2
−4×5m>0
，
解得
m<1.
故选 A．
解法二：将方程配方得
(x+2)
2
+( y − 1)
2
¿5−5m
，
当
5−5m>0
， 即
m<1
时，方程表示圆．故选 A．
2. 关于方程
x2+y2+2ax −2ay=0
表示的圆，下列叙述中：
①
圆心在直线
y=− x
上；
②
其圆心在 x轴上；
③
过原点；
④
半径为
√
2a .
其中叙述正确的是________
¿
要求写出所
有正确命题的序号
¿
．
【答案】
①③
【解析】
【分析】本题考查圆的一般方程
.
把圆的一般方程化为标准方程，逐项验证即可求出结果．
【解答】解：将圆的方程化为标准方程可知圆心为
(− a , a)
，半径为
√
2∨a∨¿
，故
①③
正
确．
故答案为
①③
．
3. (2021·安徽省·其他类型)方程
x2+y2+2ax +2by +a2+b2=0
表示的图形是
¿
¿
A. 以
(a , b)
为圆心的圆 B. 以
(− a ,− b)
为圆心的圆
C. 点
(a , b)
D. 点
(− a ,− b)
【答案】D
【解析】
【分析】
2
本题主要考查圆的一般方程的应用，属于基础题．
原方程化为：
¿
，由此可得答案．
【解答】
解：原方程可化为：
¿
，
当且仅当
x=− a
，且
y=− b
时成立，
所以它表示点
(− a ,− b)
．
故选 D．
4. (2020·广东省阳江市·单元测试)圆
x2+y2−4x+6y=0
的圆心坐标是
()
A.
(2,3)
B.
(−2,3)
C.
(−2, −3)
D.
(2, −3)
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查圆的一般方程的应用．
【解答】解：由圆的一般方程 x2
+y
2
+Dx+Ey +F=0
的圆心为
(
−D
2,− E
2
)
知，圆心坐标
为
(2, −3)
．
故选 D．
5. (2019·广东省江门市·单元测试)圆
x2+y2+2x − 4y+m=0
的直径为 3，则 m的值为___
_____．
【答案】
11
4
【解析】
【分析】本题主要考查圆的标准方程的应用，属于基础题．
由圆的一般方程化为标准方程，得圆的半径．
【解答】 解：
∵(x+1)
2
+( y − 2)
2
¿5−m
，
∴r=
√
5−m=3
2
，
∴m=11
4
．
6. (2017·广东省广州市·期末考试)圆
x2+y2− x +2y=0
关于直线
x− y+1=0
对称的圆的
方程是
()
A.
x2+y2+4x − 3y+5=0
B.
x2+y2−4x − 3y+5=0
3
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