第1章专题5 用空间向量解决平行与垂直的证明-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册常考题型专题练习（机构专用）

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用空间向量解决平行与垂直的证明

考向一用坐标法证明平行问题

1、在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是 CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面

A1BD

．

【答案】见解析

【解析】法一　如图，以 D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x轴、y轴、z轴建立

空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则 D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，M，N，于是

DA1＝(1,0,1)，DB＝(1,1,0)，MN＝.

设平面 A1BD 的法向量为 n＝(x，y，z)，则即取 x＝1，则 y＝－1，z＝－1，∴平面 A1BD 的

一个法向量为 n＝(1，－1，－1)．

又MN·n＝·(1，－1，－1)＝0，∴MN⊥n.∴MN∥平面 A1BD

．

法二　MN＝C1N－C1M＝C1B1－C1C＝(D1A1－D1D)＝DA1，∴MN∥DA1，∴MN∥平

面A1BD

．

法三　MN＝C1N－C1M＝C1B1－C1C＝DA－A1A＝－＝DB－A1B.

即MN可用A1B与DB线性表示，故MN与A1B，DB是共面向量，故 MN∥平面 A1BD

．

2、如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD⊥底

面ABCD，PD＝DC，E是PC 的中点，过点 E作EF⊥PB 于点 F.

求证：PA∥平面 EDB；

[证明]　以 D为坐标原点，射线 DA，DC，DP 分别为 x轴、y轴、z轴的正方向建立如

图所示的空间直角坐标系 Dxyz.

设DC＝a.

(1)连接 AC 交BD 于点 G，连接 EG.

依题意得 A(a,0,0)，P(0,0，a)，C(0，a,0)，E.

因为底面 ABCD 是正方形，

所以 G为AC 的中点

故点 G的坐标为，

所以PA＝(a,0，－a)，EG＝，

则PA＝2EG，故 PA∥EG.

而EG⊂平面 EDB，PA⊄平面 EDB，

所以 PA∥平面 EDB.

3、如图，在四面体 ABCD 中，AD⊥平面 BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝

2，M是AD 的中点，P是BM 的中点，点 Q在线段 AC 上，且 AQ＝3QC.

求证：PQ∥平面 BCD.

证明：如图，取 BD 的中点 O，以 O为坐标原点，OD，OP 所在直线分别为 y轴，z轴，

建立空间直角坐标系 Oxyz.

由题意知，A(0，，2)，B(0，－，0)，D(0，，0)．

设点 C的坐标为(x0，y0,0)．

因为AQ＝3QC，

所以 Q.

因为 M为AD 的中点，故 M(0，，1)．

又P为BM 的中点，故 P，

所以PQ＝.

又平面 BCD 的一个法向量为 a＝(0,0,1)，

故PQ·a＝0.

又PQ⊄平面 BCD，所以 PQ∥平面 BCD.

4、如图所示，在底面是矩形的四棱锥 PABCD 中， PA⊥底面

ABCD，E，F分别是 PC，PD 的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.

求证：EF∥平面 PAB；

[证明]　以 A为原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x轴，y轴，z轴，建立空

间直角坐标系如图所示，则

A(0,0,0)，B(1,0,0) ，C(1,2,0) ，D(0,2,0)，P(0,0,1) ，所以 E

，F，＝，＝(1,0，－1)，＝(0,2，－1)，＝

(0,0,1)，＝(0,2,0)，＝(1,0,0)，＝(1,0,0)．

因为＝－，所以 ∥，即 EF∥AB.

又AB⊂平面 PAB，EF⊄平面 PAB，所以 EF∥平面 PAB.

5、在如图 324 所示的多面体中，EF⊥平面 AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD

＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC 的中点，求证：AB∥平面 DEG.

图324

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