4.2 第2课时指数函数及其性质的应用-2020-2021学年高一数学新教材配套学案（人教A版必修第一册）

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4.2 第2课时指数函数及其性质的应用

【学习目标】

课程标准学科素养

1．掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判

断．

2．能借助指数函数图象及单调性比较大小．

3．会解简单的指数方程、不等式．

4．了解与指数函数相关的函数奇偶性的判断方法．

1、直观想象

2、数学运算

3、数形结合

【自主学习】

1.图象位置关系

一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图象时，

图象的相对位置与底数大小有如下关系：

(1)“底大图高”：在 y轴右侧，图象从上到下相应的底数；

在y轴左侧，图象从下到上相应的底数 .即无论在 y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针

方向变大.这一性质可通过令 x＝1时，y＝a去理解，如图.

(2)指数函数 y＝ax与y＝x(a＞0且a≠1)的图象关于

对称.

2.比较大小

(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的来判断；

(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的的变化规律来判断；

(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过来判断.

3.解指数方程、不等式

(1)形如 af(x)＞ag(x)的不等式，可借助 y＝ax的求解；

(2)形如 af(x)＞b的不等式，可将 b化为以 a为底数的指数幂的形式，再借助 y＝ax的求解；

(3)形如 ax＞bx的不等式，可借助两函数 y＝ax，y＝bx的图象求解.

4.指数型函数的单调性

一般地，有形如 y＝af(x)(a>0，且 a≠1)函数的性质

(1)函数 y＝af(x)与函数 y＝f(x)有的定义域.

(2)当a>1 时，函数 y＝af(x)与y＝f(x)具有的单调性；当 0<a<1 时，函数 y＝af(x)与函数 y

＝f(x)的单调性 .

【小试牛刀】

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若0.3a>0.3b，则 a>b.(　　)

(2)函数 y＝3x2在[0，＋∞)上为增函数．(　　)

(3)函数 y＝2在其定义域上为减函数．(　　)

(4)若am>1，则 m>0.(　　)

2.方程 42x－1＝16 的解是(　　)

A.x＝－ B.x＝ C.x＝1 D.x＝2

3．若函数 f(x)＝(1－2a)x在实数集 R上是减函数，则实数 a的取值范围是(　　)

A. B. C. D.

【经典例题】

题型一　利用指数函数的单调性比较大小

注意：当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有

0和±1.

例1　(1)比较下列各题中两个值的大小.

①1.7－2.5,1.7－3； ②1.70.3,1.50.3； ③1.70.3,0.83.1.

(2)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则 a，b，c的大小关系是(　　)

A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a

[跟踪训练] 1 (1)下列大小关系正确的是(　　)

A.0.43<30.4<π0 B.0.43<π0<30.4 C.30.4<0.43<π0 D.π0<30.4<0.43

（2）已知 a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则 a，b，c的大小关系是(　　)

A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b

题型二　简单的指数不等式的解法

方法：(1)形如 ax>ay的不等式：可借助 y＝ax的单调性求解．如果 a的值不确定，需分 0<a<1

和a>1 两种情况讨论．

(2)形如 ax>b的不等式：注意将 b化为以 a为底的指数幂的形式，再借助 y＝ax的单调性求解．

例2　(1)不等式 4x<42－3x的解集是________.

（2）若 a－5x>ax＋7(a>0 且a≠1)，求 x的取值范围．

[跟踪训练] 2 (1)已知集合 M＝{－1,1}，N＝，则 M∩N＝(　　)

A．{－1,1} B．{－1} C．{0} D．{－1,0}

（2）已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则 x的取值范围是________.

题型三　指数型函数的单调性

(1)关于指数型函数 y＝af(x)(a>0，且 a≠1)的单调性由两点决定，一是底数 a>1 还是 0<a<1；二

是f(x)的单调性，它由两个函数 y＝au，u＝f(x)复合而成.

(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成 y＝f(u)，u＝φ(x)，通

过考察 f(u)和φ(x)的单调性，求出 y＝f(φ(x))的单调性.

例3　(1)函数 y＝的单调递减区间是(　　)

A.(－∞，＋∞) B.(－∞，0)

C.(0，＋∞) D.(－∞，0)和(0，＋∞)

(2)已知函数 f(x)＝x2－2x

，

判断函数 f(x)的单调性；并求函数 f(x)的值域．

[跟踪训练] 3　求函数 y＝的单调区间.

题型四　指数函数性质的综合问题

注意：①注意代数式的变形,如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技

巧.

② 解答函数问题注意应在函数定义域内进行.

③ 由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论.

例4 已知定义在 R上的函数 f(x)＝a＋是奇函数.

(1)求a的值；

(2)判断 f(x)的单调性(不需要写出理由)；

(3)若对任意的 t∈R，不等式 f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0 恒成立，求实数 k的取值范围.

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