3.3 幂函数高一数学新教材配套学案（人教A版必修第一册）

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3.3 幂函数

【学习目标】

课程标准学科素养

1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.

2.结合幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，掌握它们的性

质(重点).

3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小(重点).

1、数学模型

2、数学运算

3、直观想象

【自主学习】

1. 幂函数的概念

一般地，函数

叫做幂函数，其中 x是自变量，α是常数.

2. 幂函数的图象

幂函数在第一象限内指数变化规律：

在第一象限内直线 x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数

由大变小；在直线 x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数

由大变小.

3.幂函数的性质

幂函数 y＝x y＝x2y＝x3y＝x y＝x－1

定义域

值域

奇偶性

单调性 x[0∈，＋∞)，

x(∈－∞，0]，

x(0∈，＋∞)，

x(∈－∞，0)，

公共点都经过点

(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为 1时，函数值为 1，即 f(1)＝1.

(2)如果 α＞0，则幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数.

(3)如果 α＜0，则幂函数在 x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数.

【小试牛刀】

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数 y＝x0(x≠0)是幂函数．(　　)

(2)幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1)．(　　)

(3)幂函数的图象都不过第二、四象限．(　　)

(4)当α>0 时，y＝xα是增函数．(　　)

2.设函数 f(x)＝x，则 f(x)是(　　)

A.奇函数

B.偶函数

C.既不是奇函数也不是偶函数

D.既是奇函数又是偶函数

3. 3.17－3与3.71－3的大小关系为________.

【经典例题】

题型一　幂函数的概念

注意：判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 y＝xα(α为常数)的形式，即函数的

解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为 1.

例1 (1)在函数① y＝，② y＝x2，③ y＝2x，④ y＝1，⑤ y＝2x2，⑥ y＝x中，是幂函数的是(

)

A．①②④⑤ B．③④⑥

C．①②⑥ D．①②④⑤⑥

(2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则 m＝________.

[跟踪训练] 1　若幂函数 f(x)满足 f(9)＝3，则 f(100)＝________.

题型二　幂函数的图象及性质

注意：解决幂函数图象问题应把握的两个原则

(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：

① 在 x(0∈，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近 x轴(简记为指大图低)；②在 x(1∈，＋∞)

上，指数越大，幂函数图象越远离 x轴(简记为指大图高).

(2)依据图象确定幂指数 α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于 y＝

x－1或y＝x或y＝x3)来判断.

例2 已知幂函数 f(x)＝xα的图象过点 P，

（1）画出 f(x)的图象。

（2）指出该函数的定义域与单调区间．

（3）判断奇偶性。

[跟踪训练] 2 (1)如图所示，图中的曲线是幂函数 y＝xn在第一象限的图象，已知 n取±2，±四

个值，则相应于 C1，C2，C3，C4的n依次为(　　)

A.－2，－，，2 B.2，，－，－2

C.－，－2，2，

D.2，，－2，－

（2）如图是幂函数 y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则(　　)

A．－1<n<0<m<1 B．n<－1,0<m<1

C．－1<n<0，m>1 D．n<－1，m>1

题型三　利用幂函数的性质比较大小

比较幂值大小的方法：

(1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数．

(2)若指数不同，底数相同，则考虑借助图象求解．

(3)若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，

指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小．

例3　比较下列各组数中两个数的大小：

(1)与；（2）与

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