专题28 极坐标与参数方程的解题策略（解析版）

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专题 28 极坐标与参数方程的解题策略

[高考定位] 高考对本讲内容主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程、参数方程与

普通方程的互化、常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何

知识

考点一　极坐标方程及其应用

[核心提炼]

1．直角坐标与极坐标的互化

设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则

2．圆的极坐标方程

若圆心为 M(ρ0，θ0)，半径为 r，则圆的极坐标方程为 ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.

几个特殊位置的圆的极坐标方程：

(1)当圆心位于极点，半径为 r时：ρ＝r.

(2)当圆心为 M(a，0)，半径为 a时：ρ＝2acos θ.

(3)当圆心为 M，半径为 a时：ρ＝2asin θ.

3．直线的极坐标方程

若直线过点 M(ρ0，θ0)，且极轴与此直线所成的角为 α，则此直线的极坐标方程为 ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．

几个特殊位置的直线的极坐标方程：

(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0.

(2)直线过点 M(a，0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a.

(3)直线过 M且平行于极轴：ρsin θ＝b.

[规律方法]

(1)求曲线的极坐标方程的一般思路

曲线的极坐标方程问题通常可利用互换公式转化为直角坐标系中的问题求解，然后再次利用互换公式即可

转化为极坐标方程．熟练掌握互换公式是解决问题的关键．

(2)解决极坐标问题的一般思路

一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方

程联立，根据限制条件求出极坐标．

参数方程与普通方程的互化及参数方程的应用

(1)将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒

等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件．

(2)在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最

值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解．

解决极坐标、参数方程的综合问题应关注 3点

(1)在对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，可以先化成普通方程或直角坐标方程，这样思路

可能更加清晰．

(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷．

(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件．

【题型规律】

一．利用椭圆的参数方程求最值

在平面直角坐标系中，曲线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为

极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .

（1）求曲线的普通方程和曲线的普通方程；

（2）若 P，Q分别为曲线，上的动点，求的最大值.

【答案】（1），；（2）

【解析】（1）的普通方程为 .

∵曲线的极坐标方程为，

∴曲线的普通方程为，即 .

（2）设为曲线上一点，

则点到曲线的圆心的距离

∵，∴当时，d有最大值 .

又∵P，Q分别为曲线，曲线上动点，

∴的最大值为 .

练习 1. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，(为参数)，曲线的参数方程为

，(为参数，且 )．

（1）求与的普通方程，

（2）若分别为与上的动点，求的最小值．

【答案】（1）的普通方程为的普通方程为，；（2）

【解析】（1）消参可得的普通方程为；

又因为的参数方程为，可得，

又，所以，

所以的普通方程为，

（2）由题意，设的平行直线为，

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