高考数学微专题复习（新高考地区专用）专题62 概率中的比赛问题 （解析版）

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专题 62 概率中的比赛问题
一、题型选讲
题型一 、比赛获胜问题
例1、【2020 年高考全国Ⅰ卷理数】甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行
下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其
中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 ，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
【解析】（1）甲连胜四场的概率为 ．
（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛．
比赛四场结束，共有三种情况：
甲连胜四场的概率为 ；
乙连胜四场的概率为 ；
丙上场后连胜三场的概率为 ．
所以需要进行第五场比赛的概率为 ．
（3）丙最终获胜，有两种情况：
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为 ．
比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜
胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为 ， ， ．
因此丙最终获胜的概率为 ．
1
例 2、甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用 7 场 4 胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有
一队获胜 4 场就结束比赛．现已比赛了 4 场，且甲篮球队胜 3 场．已知甲球队第 5，6 场获胜的概率均为
3
5
，
但由于体力原因，第 7 场获胜的概率为
2
5
．
（1）求甲队分别以
4 : 2
，
4 : 3
获胜的概率；
（2）设 X 表示决出冠军时比赛的场数，求 X 的分布列及数学期望．
【解析】：设事件 为“甲队在第 场获胜”，则
设事件 为“甲队 4：2 获胜”，事件 为“甲队 4：3 获胜”
（2）比赛的场数取决于甲是否取胜，所以 可取的值为 ，若 ，则甲 获胜，即胜第五场；
若 则甲 获胜，即乙胜第五场，甲胜第六场；若 ，则只需前六场打成 即可，所以只需
乙连赢两场。分别计算概率即可得到分布列和期望
比赛场数 可取的值为
的分布列为
例3、甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完
5
局仍未出现连胜，则判定获胜
2
局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为
，乙获胜的概率为
1
3
，各局比赛结果相互独立.
（1）求甲在
4
局以内（含
4
局）赢得比赛的概率；
（2）记
X
为比赛决出胜负时的总局数，求
X
的分布列和期望.
【解析】：设 为“甲在第 局获胜”，事件 为“甲在
4
局以内（含
4
局）赢得比赛”
（2）首先依题意能确定 可取的值为 ，若提前结束比赛，则按（1）的想法，除了最后两场要连
胜（或连败），其余各场应“胜负交替”。在每个事件中要分甲获胜和乙获胜两种情况进行讨论
解： 可取的值为
的分布列为：
3
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