高一数学专题02 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词（重难点突破）（解析版）

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专题 02 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词
一、知识结构思维导图
二、学法指导与考点梳理
知识点一　充分条件与必要条件
(1)一般地，“若 p，则 q”为真命题，是指由 p通过推理可以得出 q，这时，我们就说，由 p可以推出 q，
记作 p⇒q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)几点说明
若p⇒q，则 p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p
p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p
p是q的充要条件 p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p
知识点二　充要条件
(1)如果“若 p，则 q”和它的逆命题“若 q，则 p”均是真命题，即既有 p⇒q，又有 q⇒p，就记作 p⇔q，此
时，p既是 q的充分条件，也是 q的必要条件，我们就说 p是q的充分必要条件，简称为充要条件．
(2)如果 p是q的充要条件，那么 q也是 p的充要条件．概括地说，如果 p⇔q，那么 p与q互为充要条件．
知识点三 全称量词和存在量词
(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，
有些，用符号“∃”表示．
1
(2) 含有全称 量 词 的命题， 叫 做全称 命 题 ．“ 对M中任意 一 个 x， 有 p(x)成立 ” 用 符号 简 记 为：
∀ x ∈ M ， p ( x ) ．
(3) 含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存 在 M中元素 x0， 使 p(x0)成 立 ”用符号简记为：
∃ x 0∈ M ， p ( x 0) ．
知识点四 含有一个量词的命题的否定
一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：
(1)全称量词命题 p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)；
(2)存在量词命题 p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)．
全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．
命题 命题的否定
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，p(x0)
【知识拓展】
1．充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的
必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；
2.若条件 p，q以集合的形式出现，即 A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由 A⊆B可得，p是q的充分条件，请写
出集合 A，B的其他关系对应的条件 p，q的关系．
①若A B，则 p是q的充分不必要条件；
②若A⊇B，则 p是q的必要条件；
③若A B，则 p是q的必要不充分条件；
④若A＝B，则 p是q的充要条件；
⑤若A⊈B且A⊉B，则 p是q的既不充分也不必要条件．
三、重难点题型突破
重难点 1 充分必要条件的判断
例1（1）.（2019·全国高一课时练习）“x+y=3”是“x=1 且y=2”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也必要条件
【答案】B
2
【解析】当 x=0，y=3 时，满足 x+y=3，但 x=1 且y=2 不成立，即充分性不成立，
若x=1 且y=2，则 x+y=3 成立，即必要性成立，
即“x+y=3”是“x=1 且y=2”的必要不充分条件。故选 B
（2）.（2019·全国高一课时练习）已知 ， ，则 是 的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由已知 ，反之不成立，得 是 的充分不必要条件，所以正确选项为 A.
（3）.（2012·全国高二课时练习）三个数 不全为零的充要条件是（　　）
A． 都不是零 B． 中至多一个是零
C． 中只有一个为零 D． 中至少一个不是零
【答案】D
【解析】主要考查充要条件的概念及其判定方法。三个数 不全为零的充要条件是 中至少
一个不是零。选 D.
【变式训练 1】（1）.（2019·全国高一课时练习）设集合 A＝{x|x（x1﹣）＜0}，B＝{x|0＜x＜3}，那么
“m∈A”是“m∈B”的____条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必
要”）．
【答案】充分不必要
【解析】由于 A＝{x|0＜x＜1}，则 A⊊B，由 m∈B不能推出 m∈A，如 x＝2时，故必要性不成立．反之，
根据 A⊊B，“m∈A”⇒“m∈B”．所以“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要
（2）.（2020·全国高一课时练习）“ ”是“一元二次方程 ”有实数解的（ ）
A．充分非必要条件 B．充分必要条件
C．必要非充分条件 D．非充分必要条件
【答案】A
【解析】方程 有解，则 ． 是 的充分不必要条件．故
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