专题四 培优点14 截面问题（解析版）

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培优点 14　截面问题
【方法总结】
用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平面的
性质确定截面形状是解决截面问题的关键．
【典例】1　(1)如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G 分别在 AB，BC，DD1上，求作过
E，F，G 三点的截面．
【解析】　作法：①在底面 AC 内，过 E，F 作直线 EF，分别与 DA，DC 的延长线交于 L，M.
② 在侧面 A1D 内，连接 LG 交 AA1于 K.
③ 在侧面 D1C 内，连接 GM 交 CC1于 H.
④ 连接 KE，FH.则五边形 EFHGK 即为所求的截面．
(2)如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，点 E，F 分别是棱 B1B，B1C1的中点，点 G 是棱 C1C 的
中点，则过线段 AG 且平行于平面 A1EF 的截面图形为(　　)
A．矩形
B．三角形
1
C．正方形
D．等腰梯形
【答案】　D
【解析】　取 BC 的中点 H，连接 AH，GH，AD1，D1G，
由题意得 GH∥EF，AH∥A1F，
又 GH⊄平面 A1EF，EF⊂平面 A1EF，
∴GH∥平面 A1EF，同理 AH∥平面 A1EF，
又 GH∩AH＝H，GH，AH⊂平面 AHGD1，
∴平面 AHGD1∥平面 A1EF，
故过线段 AG 且与平面 A1EF 平行的截面图形为四边形 AHGD1，显然为等腰梯形．
【典例】2　(1)(2018·全国Ⅰ)已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 α 所成的
角都相等，则 α 截此正方体所得截面面积的最大值为(　　)
A. B. C. D.
【答案】　A
【解析】　如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，平面 AB1D1与棱 A1A，A1B1，A1D1所成的角
都相等，又正方体的其余棱都分别与 A1A，A1B1，A1D1平行，故正方体 ABCD－A1B1C1D1的每条
棱所在直线与平面 AB1D1所成的角都相等．取棱 AB，BB1， B1C1，C1D1，DD1，AD 的 中点
E，F，G，H，M，N，则正六边形 EFGHMN 所在平面与平面 AB1D1平行且面积最大，此截面面积
为 S 正六边形 EFGHMN＝6×××sin 60°＝.故选 A.
(2)如图，在三棱锥 O－ABC 中，三条棱 OA，OB，OC 两两垂直，且 OA>OB>OC，分别经过三条
2
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