专题六 培优点18 隐圆问题（解析版）

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培优点 18　隐圆问题
【方法总结】
隐圆问题近几年在各地模考和高考的填空题和解答题中都出现过，难度为中、高档题 ．
在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中的，要通过分析、转化，发现圆
(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆”问题．
【典例】1　(1)已知圆 C：(x－3)2＋(y－4)2＝1 和两点 A(－m,0)，B(m,0)，且 m>0.若圆 C
上存在一点 P，使得∠APB＝90°，则 m 的最大值是(　　)
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】　B
【解析】　如图所示，圆 C：(x－3)2＋(y－4)2＝1 的半径为 1，|OC|＝5，所以圆 C 上的点
到点 O 距离的最大值为 6，最小值为 4，由∠APB＝90°可得，以 AB 为直径的圆和圆 C 有交
点，连接 OP，故|PO|＝|AB|＝m，故 4≤m≤6.所以 m 的最大值是 6.
(2)在平面直角坐标系 xOy 中，圆 x2＋y2＝1 交 x 轴于 A，B 两点，且点 A 在点 B 的左侧，若直
线 x＋y＋m＝0 上存在点 P，使得|PA|＝2|PB|，则 m 的取值范围为________．
【答案】　
【解析】　由题意得 A(－1,0)，B(1,0)，设 P(x，y)，
则由|PA|＝2|PB|，得
＝2，
即2＋y2＝，
因此圆 2＋y2＝与直线 x＋y＋m＝0 有交点，即 ≤，解得－≤m≤1.
故 m 的取值范围为.
1
【典例】2　(1)在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(－12,0)，B(0,6)，点 P 在圆 O：x2＋y2＝50
上，若PA·PB≤20，则点 P 的横坐标的取值范围是(　　)
A．[0，] B．[－5，1]
C．[－，] D．[－2,0]
【答案】　B
【解析】　设 P(x，y)，由PA·PB≤20 可得
(x＋6)2＋(y－3)2≤65，
则点 P 为圆 O 在圆(x＋6)2＋(y－3)2＝65 内部及其上的点，
联立解得或
结合图形(图略)可知－5≤x≤1.
(2)已知等边三角形 ABC 的边长为 2，点 P 在线段 AC 上，若满足PA·PB－2λ＋1＝0 的点 P 恰
有两个，则实数 λ 的取值范围是________．
【答案】　
【解析】　如图，以 AB 的中点 O 为坐标原点，AB 所在的直线为 x 轴，OC 所在的直线为 y 轴，
建立平面直角坐标系，则 A(－1,0)，B(1,0)，设 P(x，y)，则PA·PB－2λ＋1＝0，即为(－
1－x)(1－x)＋y2－2λ＋1＝0，化简得 x2＋y2＝2λ(λ>0)，故所有满足PA·PB－2λ＋1＝0
的点 P 在以 O 为圆心，为半径的圆上．过点 O 作 OM⊥AC，垂足为点 M，由题意知，线段 AC 与
圆 x2＋y2＝2λ 有两个交点，所以|OM|<≤|OA|，即<≤1，解得<λ≤.
【方法总结】
发现隐圆的方法
(1)利用圆的定义或圆的几何性质确定隐圆．
(2)在平面上给定相异两点 A，B，设点 P 在同一平面上且满足|PA|＝λ|PB|，当 λ>0 且
λ≠1 时，点 P 的轨迹是个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆．
2
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