专题六 第3讲 母题突破4 探索性问题（解析版）

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母题突破 4　探索性问题
母题 　已知椭圆 C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直线 l不过原点 O且不平行于坐标轴，l与C有两
个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M.
(1)证明：直线 OM 的斜率与 l的斜率的乘积为定值；
(2)若l过点，延长线段 OM 与C交于点 P，四边形 OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时
l的斜率；若不能，说明理由．
2思路分析
❶假设四边形 OAPB 能为平行四边形
　↓
❷线段 AB 与线段 OP 互相平分
　↓
❸计算此时直线 l的斜率
　↓
❹下结论
【解析】(1)证明　设直线 l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．
将y＝kx＋b代入 9x2＋y2＝m2得
(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，
故xM＝＝，yM＝kxM＋b＝.
于是直线 OM 的斜率 kOM＝＝－，即 kOM·k＝－9.
所以直线 OM 的斜率与 l的斜率的乘积为定值．
(2)解　四边形 OAPB 能为平行四边形．
因为直线 l过点，所以 l不过原点且与 C有两个交点的充要条件是 k>0，k≠3.
1
由(1)得OM 的方程为 y＝－x.
设点 P的横坐标为 xP，
由得 x＝，即 xP＝.
将点的坐标代入直线 l的方程得 b＝，
因此 xM＝.
四边形 OAPB 为平行四边形，当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分，即 xP＝2xM.
于是＝2×，
解得 k1＝4－，k2＝4＋.
因为 ki>0，ki≠3，i＝1,2，所以当直线 l的斜率为 4－或 4＋时，四边形 OAPB 为平行四边形．
[子题 1]　已知椭圆 C：＋y2＝1的左、右焦点分别为 F1，F2，左、右顶点分别为 A1，A2.
(1)若M为C上任意一点，求|MF1|·|MF2|的最大值；
(2)椭圆 C上是否存在点 P(异于点 A1，A2)，使得直线 PA1，PA2与直线 x＝4分别交于点
E，F，且|EF|＝1？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】解　(1)由椭圆的定义可知|MF1|＋|MF2|＝4，
∴|MF1|·|MF2|≤2＝4，
当且仅当|MF1|＝|MF2|＝2时等号成立，
∴|MF1|·|MF2|的最大值为 4.
(2)假设存在满足题意的点 P.
不妨设 P(x0，y0)(y0>0)，则－2<x0<2.
由题意知直线 PA1的方程为 y＝(x＋2)，
令x＝4，得 yE＝，
直线 PA2的方程为 y＝(x－2)，
令x＝4，得 yF＝，
2
由|EF|＝yE－yF＝－＝＝＝＝1，得 x0＝4－y0，
由x＋4y＝4，得 5y－8y0＋12＝0，
∵Δ＝－176<0，∴此方程无解．
故不存在满足题意的点 P.
[子题 2]　(2020·合肥适应性检测)已知抛物线 C：y2＝4x，过点(2,0)作直线 l与抛物线 C交于
M，N两点，在 x轴上是否存在一点 A，使得 x轴平分∠MAN？若存在，求出点 A的坐标；
若不存在，请说明理由．
【解析】解　①当直线 l的斜率不存在时，由抛物线的对称性可知 x轴上任意一点 A(不与点
(2,0)重合)，都可使得 x轴平分∠MAN；
②当直线 l的斜率存在时，设直线 l的方程为 y＝k(x－2)(k≠0)，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程
消去 y得k2x2－(4k2＋4)x＋4k2＝0，
显然 Δ>0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝4，(*)
假设在 x轴上存在一点 A(a,0)，使得 x轴平分∠MAN，
∴kAM＋kAN＝0，∴＋＝0，
∴＝0，
又y1＝k(x1－2)，y2＝k(x2－2)，
∴＝0，
把(*)式代入上式化简得 4a＝－8，
∴a＝－2，∴点 A(－2,0)，
综上所述，在 x轴上存在一点 A(－2,0)，使得 x轴平分∠MAN.
规律方法　探索性问题的求解策略
(1)若给出问题的一些特殊关系，要探索一般规律，并能证明所得规律的正确性，通常要对
3
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