专题34 多元问题的处理（解析版）

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专题 34 多元问题的处理

一、题型选讲

题型一、消元法

多元最值问题是最典型的代数问题，代数问题要注重结构的观察和变形，变形恰当后，直接可以构造

几何意义也可以使问题明朗化，具体归纳如下：多元最值首选消元：三元问题→二元问题→一元问题

例1、（2020 届山东实验中学高三上期中）已知函数，若方程有四个不

同的解，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】先作图象，由图象可得

因此为，

从而，选 A.

例 2、(2018 南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）已知 a，b，c均为正数，且 abc＝4(a＋b)，

则a＋b＋c的最小值为________．

【答案】 8　

【解析】由 a，b，c均为正数，abc＝4(a＋b)，得 c＝＋，代入得 a＋b＋c＝a＋b＋＋＝＋≥2＋2＝8，当且

仅当 a＝b＝2时，等号成立，所以 a＋b＋c的最小值为 8.

例 3、(2019 苏州三市、苏北四市二调）已知关于 x的不等式 ax2＋bx＋c>0(a，b，c∈R)的解集为{x|

3<x<4}，则的最小值为________．

【答案】. 4　

【解析】先根据一元二次不等式的解集，确定 a<0，以及 a，b，c的关系，再将所求运用消元法，统

一成单变量 a的函数问题，运用基本不等式求最值．

依题意得 a<0，且 3和4是方程 ax2＋bx＋c＝0的两根，即则

所以＝＝＝(－24a)＋≥2＝4，当且仅当 144a2＝5，即 a＝－时取等号，所以所求最小值为 4.

题型二换元法与主元法

换元法是解决不等式中最常用到的一种方法，若不等式中出现多元的问题可以运用整体的思想看成一

个主元，然后再运用换元法解决。

例4、(2017 南京三模）已知 a，b，c为正实数，且 a＋2b≤8c，＋≤，则的取值范围为 ▲ ．

【答案】[27，30]

【解析】本题所给条件为关于的三元不等式，所以首先利用整体思想将其转化为的二元问题，

再根据条件和结论的特征，利用线性规划的思想解决取值范围.

由题意可得：，设，则，所求可转化为： .又

可化为，可行域如下图所示，当直线与曲线

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