专题32 函数的存在与恒成立问题（解析版）

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专题 32 函数的存在与恒成立问题

一、题型选讲

题型一、函数的存在问题

函数的恒成立问题往往采取分离参数法，参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离

法，可遵循以下两点原则：

① ，则只需要

，则只需要

② ，则只需要

，则只需要

例1、【2019 年高考浙江】已知，函数，若存在，使得，

则实数的最大值是___________.

【答案】

【解析】存在，使得，

即有，化为，

可得，即，

由，可得 .则实数的最大值是 .

例2、(2016 泰州期末）若命题“存在 x∈R，ax2＋4x＋a≤0”为假命题，则实数 a的取值范围是________．

【答案】 (2，＋∞)　

【解析】“存在 x∈R，ax2＋4x＋a≤0”为假命题，则其否定“对任意 x∈R，ax2＋4x＋a>0”为真命题，当 a

＝0,4x>0 不恒成立，故不成立；当 a≠0 时，解得 a>2，所以实数 a的取值范围是(2，＋∞)．

易错警示转为真命题来处理，二次项系数为参数的不等式恒成立问题，要注意讨论二次项系数为 0时能否

成立

例 3、(2016 苏锡常镇调研）已知函数 f(x)＝x，若存在 x∈，使得 f(x)<2，则实数 a的取值范围是________．

【答案】. (－1,5)　

【解析】解法 1 当x∈[1,2]时，f(x)<2，等价于|x3－ax|<2，即－2<x3－ax<2，即 x3－2<ax<x3＋2，得到 x2－

<a<x2＋，即 min<a<max，得到－1<a<5.

解法 2 原问题可转化为先求：对任意 x∈[1,2]，使得 f(x)≥2时，实数 a的取值范围．

则有 x|x2－a|≥2，即|a－x2|≥.

(1) 当a≥4时，a≥x2＋≥22＋＝5，得到 a≥5.

(2) 当a≤1时，x2－a≥，有 a≤x2－≤1－＝－1，得到 a≤－1.

(3) 当1<a<4 时，|a－x2|≥0，与>0 矛盾．

那么有 a≤－1或a≥5，故原题答案为－1<a<5.

题型二、函数的恒成立问题

函数的恒成立问题往往采取分离参数法，参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变

分离法，可遵循以下两点原则：

（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分

离法可行。但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他

方法。（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复

杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题。（可参见”恒成立问题——最值分析

法“中的相关题目）

参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，

为其表达式）（1）若的值域为

① ，则只需要

，则只需要

② ，则只需要

，则只需要

例4、（2020 届山东省泰安市高三上期末）设函数

 

f x

在定义域(0，+∞)上是单调函数，

   

0, ,

x f f x e x e

 

     

 

，若不等式

   

f x f x ax



 

对

 

0,x 

恒成立，则实数 a的取

值范围是______．

【答案】





, 2 1e 

【解析】由题意可设

 

f x e x t  

，则

 

f x e x t  

，

∵

 

f f x e x e

 

  

 

，∴

 

t t

f t e t t e e    

，

∴

1t

，∴

 

f x e x  

，∴

 

f x e

 

，

由

   

f x f x ax



 

得

1 1

x x

e x e ax    

，

∴

 

对

 

0,x 

恒成立，

令

 

g x x

 

，

 

0,x 

，则

   

2 1

e x

g x x





，

由

 

' 0g x 

得

1x

，∴

 

g x

在

 

0,1

上单调递减，在

 

1,

单调递增，

∴

   

1 2 1g x g e  

，∴

2 1a e 

，

故答案为：





, 2 1e 

．

变式 5、【2019 年高考天津理数】已知，设函数若关于的不等式

在上恒成立，则的取值范围为

A．B．

C．D．

【答案】C

【解析】当时，恒成立；

当时，恒成立，

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