专题30 极值点偏移问题的研究（原卷版）

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专题 30 极值点偏移问题的研究
一、题型选讲
题型一、常见的极值点偏移问题
常见的极值点偏移问题主要有以下几种题型：1. 若函数
f(x)
存在两个零点
x1, x2
且
x1≠x2
，求证：
x1+x2>2x0
（
x0
为函数
f(x)
的极值点）； 2. 若函数
f(x)
中存在
x1, x2
且
满足
f(x1)=f(x2)
，
求证：
x1+x2>2x0
（
x0
为函数
f(x)
的极值点）；3. 若函数
f(x)
存在两 个零点
x1, x2
且
x1≠x2
，令
x0=x1+x2
2
，求证：
f ' (x0)>0
；
例1、（2020 届山东省泰安市高三上期末）已知函数
 
x
f x e ax 
．
(1)当
0a
时，设函数
 
f x
的最小值为
 
g a
，证明：
 
1g a
；
(2)若函数
   
2
1
2
h x f x x 
有两个极值点
 
1 2 1 2
,x x x x
，证明：
 
1 2
2h x h x 
．
例2、（2020 届山东省滨州市高三上期末）已知函数
( ) (1 ln )
x
f x e m x 
，其中
0m
，
 
f x
为
 
f x
的导函数，设
( )
( )
x
f x
h x e
，且
 
5
2
h x
恒成立.
（1）求
m
的取值范围；
1
（2）设函数
 
f x
的零点为
0
x
，函数
 
f x
的极小值点为
1
x
，求证：
0 1
x x
.
例3、(2019 无锡期末）已知函数 f(x)＝ex－x2－ax(a>0)．
(1) 当a＝1时，求证：对于任意 x>0，都有 f(x)>0 成立；
(2) 若函数 y＝f(x)恰好在 x＝x1和x＝x2两处取得极值，求证：<lna.
例 4、(2018 常州期末）已知函数 f(x)＝，其中 a为常数．
(1) 若a＝0，求函数 f(x)的极值；
(2) 若函数 f(x)在(0，－a)上单调递增，求实数 a的取值范围；
(3) 若a＝－1，设函数 f(x)在(0，1)上的极值点为 x0，求证：f(x0)<－2.
题型二、构造函数的极值点偏移问题
（1）求出函数
f(x)
的极值点
x0
；（2）构造一元差函数
F(x)=f(x0+x)−f(x0−x)
；（3）确 定函
数
F(x)
的单调性；（4）结合
F(0)=0
，判断
F(x)
的符号，从而确定
f(x0+x)
、
f(x0−x)
的大小关系.
例5、【2018 年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数 ．
2
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