专题27 立体几何初步中的典型问题（1） （原卷版）-2020-2021学年高一数学专题培优训练（苏教版2019必修第二册，第13章《立体几何初步》）

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立体几何初步中的典型问题（1）
（满分 100 分 时间：60 分钟） 班级 姓名 得分
一、单选题
1. 已知三棱锥
P − ABC
的四个顶点在球 O的球面上，
PA=PB=PC
，
△ABC
是边
长为 2的正三角形，E，F分别是 PA，AB 的中点，
∠CEF=90 °
，则球 O的体积
为
()
A.
8
√
6π
B.
4
√
6π
C.
D.
√
6π
2. 如图，已知正四面体
D − ABC ¿
所有棱长均相等的三棱锥
¿
，
P，Q，R分别为 AB，BC，CA 上的点，
AP=PB
，
分别记二面角
D − PR −Q
，
D − PQ − R
，
D −QR− P
的平面角为
α
，
β
，
γ
，则
¿
¿
A.
γ<α<β
B.
α<γ<β
C.
α<β<γ
D.
β<γ<α
3. 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”
.
意思是说两个同高的几何体，如在等高处
的截面积恒相等，则体积相等．设 A、B为两个同高的几何体，p：A、B的体积不
相等，q：A、B在等高处的截面积不恒相等．根据祖暅原理可知，p是q的
¿
¿
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知三棱锥
P − ABC
中，PA，PB，PC 两两垂直，且长度相等．若点
P，A，B，C都在半径为 1的球面上，则球心到平面 ABC 的距离为
¿
¿
A.
√
3
6
B.
1
2
C.
1
3
D.
√
3
2
5. 设三棱锥
V − ABC
的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱 VA 上的点
¿
不含端
点
¿
，记直线 PB 与直线 AC 所成角为
α
，直线 PB 与平面 ABC 所成角为
β
，二面角
P − AC − B
的平面角为
γ
，则
()
A.
β<γ
，
α<γ
B.
β<α
，
β<γ
C.
β<α
，
γ<α
D.
α<β
，
γ<β
6. 已知边长为 2的正
△ABC
所在平面外有一点 P，
PB=4
，当三棱锥
P − ABC
的体
积最大时，三棱锥
P − ABC
外接球的表面积为
()
A.
32 π
3
B.
16 π
C.
64 π
3
D.
256 π
3
二、多选题
1
7. 如图，线段 AB 为圆 O的直径，点 E，F在圆 O
上，
EF /¿AB
，矩形 ABCD 所在平面和圆 O所
在平面垂直，且
AB=2
，
EF=AD =1
，则下述
正确的是
()
A.
OF/¿
平面 BCE
B.
BF ⊥
平面 ADF
C. 点A到平面 CDFE 的距离为
√
21
7
D. 三棱锥
C − BEF
外接球的体积为
√
5π
8. 在棱长为 1的正方体
ABCD− A1B1C1D1
中，下列
结论正确的是
()
A. 异面直线
B D1
与
B1C
所成的角大小为
90 °
B. 四面体
D1DBC
的每个面都是直角三角形
C. 二面角
D1− BC − B1
的大小为
30 °
D. 正方体
ABCD− A1B1C1D1
的内切球上一点与外接球上一点的距离的最小值为
√
3−1
2
9. 如图，矩形 ABCD，M为BC 的中点，将
▵ABM
沿直线 AM 翻折成
▵A B1M
，连
接
B1D
，N为
B1D
的中点，则在翻折过程中，下列说法中正确的是
¿
¿
A. 存在某个位置，使得
CN ⊥A B1
B. 翻折过程中，CN 的长是定值
C. 若
AB=BM
，则
AM ⊥B1D
D. 若
AB=BM=1
，当三棱锥
B1− AMD
的体积最大时，三棱锥
B1− AMD
的外
接球的表面积是
4π
2
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