专题24 三角函数中的化简求值（解析版）

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专题 24 三角函数中的化简求值

一、题型选讲

题型一灵活运用和与差的正弦、余弦和正切、二倍角等公式化简求值

通过两角和与差的正弦、余弦和正切以及二倍角公式或者公式的变形进行化简求值。在应用同角三

角函数的关系或两角和与差的三角函数公式求值时，需要注意解题的规范性，一要注意角的范围对三角函

数值的符号的影响；二要注意“展示”三角函数的公式．否则，就会因为不规范而导致失分．

例1、【2020 年高考全国Ⅰ卷理数】已知，且，则

A．B．

C．D．

【答案】A

【解析】，得，

即，解得或（舍去），

又.

故选：A．

变式 1、【2019 年高考江苏卷】已知，则的值是 ▲ .

【答案】

【解析】由，得，

解得，或 .

，

当时，上式

当时，上式=

综上，

变式 2、【2020 年高考全国Ⅲ卷理数】已知 2tanθ–tan(θ+ )=7，则 tanθ=

A．–2 B．–1

C．1 D．2

【答案】D

【解析】，，

令，则，整理得，解得，即 .

故选：D．

变式 3、（2018 年江苏高考题）已知为锐角，，．（1）求的

值；（2）求的值．

【解析】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角

正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.

详解：解：（1）因为，，所以．

因为，所以，

因此，．

（2）因为为锐角，所以．

又因为，所以，

因此．

因为，所以，

因此，．

变式 4、、(2019 通州、海门、启东期末）设 α∈，已知向量 a＝(sinα，)，b＝，且 a⊥b.

(1) 求tan 的值；

(2) 求cos 的值．

解析：(1) 因为 a＝(sina，)，b＝，且 a⊥b.

所以 sina＋cosα＝，所以 sin＝.2分

因为 α∈，所以 α＋∈，(4 分)

所以 cos＝，

故sin＝＝

所以 tan＝.(6 分)

(2) 由(1)得cos＝2cos2－1＝2×－1＝.(8 分)

因为 α∈，所以 2α＋∈，

所以 sin＝.(10 分)

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