专题17 圆锥曲线中的中点弦问题-2021年高考数学高分突破冲刺练（全国通用）(解析版)
专题 17 圆锥曲线中的中点弦问题
一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知椭圆 的左焦点为 F，过点 F的直线 与椭圆 C相交于不同
的两点 ，若 P为线段 的中点，O为坐标原点，直线 的斜率为 ，则椭圆 C的方程为（
）
A．B．C．D．
【解析】设 ，因为直线 过 ，所以 ，得 ，
所以 ，设 ，
由 ，得 ，得 ，
因为 P为线段 的中点，O为坐标原点，
所以 ， ，
所以 ，
又 在直线 上，所以 ，
所以 ，即 ，将其代入 ，得 ， ，
所以椭圆 C的方程为 .故选：D
1
2．已知双曲线 的右焦点为 ，虚轴的上端点为 ，点 ， 在双曲线上，
且点 为线段 的中点， ，双曲线的离心率为 ，则 （ ）
A．B．C．D．
【解析】解法一：由题意知 ， ，则 .
设 ， ，则 两式相减，得 .
因为线段 的中点为 ，所以 ， ，
又 ，所以 ，整理得 ，
所以 ，即 ，得 .故选：A.
解法二：由题意知 ， ，则 .
设直线 的方程为 ，即 ，
代人双曲线方程，得 .
设 ， ，则 ，所以 ，
又 ，所以 ，
整理得 ，所以 ，即 ，得 ，
2
则 ，故选：A.
3．已知双曲线 上存在两点 M，N关于直线 对称，且 的中点在抛物线
上，则实数 b的值为（ ）
A．0或B．0 C．D．
【解析】设 ， ， 的中点 ，
因为 ，所以 ；又因为 ，
所以 ；又因为 M，N关于直线 对称，所以 ，即 ；
又因为点 在直线 上，所以 ；
由 ，可得 ，所以 ，即 或 ，故选：A.
4．过点 作直线与双曲线 交于 A，B两点，使点 P为 中点，则 a的取值范围是
（ ）
A．B．C．D．
【解析】设 ， ，则 ①， ②，
① ② 得： ，即 ，
因为 是 中点，所以 ， ，
3
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