专题14 几何变换综合题（原卷版）

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专题十四　几何变换综合题
【专题解读】几何变换主要是与平移、对称、旋转有关的动态型问题，是以点、线、面(如
三角形、四边形)的运动为情境，探索和发现其中规律和结论的中考题型，由于图形的运动，
导致题目的条件不断改变，随之相应的数量关系和结论也可能改变，这样就出现一个事件
中蕴含着多个数学问题，既独立又有联系，使题目无论从考查知识上，还是解决方法上都
具有较强的综合性，以达到培养和考查学生的观察、试验、空间想象、分析综合等解决问
题的能力，在全国的中考试卷中常作为压轴题出现，类型有：(1)点的运动，(2)线的运动，
(3)面(如三角形、四边形)的运动． 解决动态问题的思维与方法：(1)认清问题中的静态图形
和动态图形，并确定动态图形的起始位置和终止位置；(2)画出不同时刻动态图形与静态图
形形成的几何图形，这样就能达到由“动”变“静”，再设法分别求解问题．
类型一 涉及一个动点的几何变换问题
（2020•顺德区三模）如图 1，矩形 OABC 的顶点 O是直角坐标系的原点，点 A、C分
别在 x轴、y轴上，点 B的坐标为（8，4），将矩形 OABC 绕点 A顺时针旋转得到矩形
ADEF，D、E、F分别与 B、C、O对应，EF 的延长线恰好经过点 C，AF 与BC 相交于点
Q．（1）证明：△ACQ 是等腰三角形；
（2）求点 D的坐标；
（3）如图 2，动点 M从点 A出发在折线 AFC 上运动（不与 A、C重合），经过的路程为
x，过点 M作AO 的垂线交 AC 于点 N，记线段 MN 在运动过程中扫过的面积为 S；求 S关于
x的函数关系式．
【思路点拨】（1）想办法证明∠QCA＝∠QAC 即可解决问题．（2）设 CQ＝AQ＝x，利
用勾股定理求出 x，如图 1中，过点 D作DH⊥x轴于 H．利用相似三角形的性质求出
AH，DH 即可解决问题．
（3）分两种情形：①当 0＜x≤8 时，如图 2中，延长 MN 交AO 于H，作 QJ∥AB 交AC 于
J．利用相似三角形的性质求出 AH，MN 即可解决问题．②当 8＜x＜12 时，如图 3中，作
QJ∥AB 交AC 于J，作 EK∥AB 交BC 于T，设 MN 交BC 于R．利用相似三角形的性质求
1
出MN，AR 即可解决问题．
【自主解答】（1）证明：∵四边形 OABC，四边形 FADE 都是矩形，
∴∠AOC＝90°，∠AFE＝∠AFC＝90°，BC∥OA，
∵∠CFA＝∠AOC＝90°，AC＝AC，AO＝AF，∴Rt△ACO≌Rt△ACF（HL），
∴∠CAO ＝∠CAF ，∵BC∥OA ， ∴ ∠ BCA ＝∠CAO ， ∴ ∠ BCA ＝∠ACF ，∴QC ＝
QA，∴△ACQ 是等腰三角形．
（2）解：设 CQ＝AQ＝x，∵B（8，4），∴BC＝8，AB＝4，在 Rt△AQB中，∵AQ2＝
BQ2+AB2，∴x2＝（8﹣x）2+42，∴x＝5，∴BQ＝3，
如图 1中，过点 D作DH⊥x轴于 H．
∵∠QAD＝∠BAH＝90°，∴∠QAB＝∠DAH，
∵∠B＝∠AHD＝90°，∴△ABQ∽△AHD，
∴
AB
AH =QB
DH =AQ
AD
，∴
4
AH =3
DH =5
4
，
∴AH
¿16
5
，DH
¿12
5
，∴OH＝OA+AH＝8
+16
5=56
5
，
∴D（
56
5
，
12
5
）．
（3）①当 0＜x≤8 时，如图 2中，延长 MN 交AO 于H，作 QJ∥AB 交AC 于J．
∵QJ∥AB，∴
，∴
QJ
4=5
8
，∴QJ
¿5
2
，
∵MN∥QJ，∴△AMN∽△AQJ，∴
AM
AQ =MN
QJ =AH
BQ
，
∴
x
5=MN
5
2
=AH
3
∴MN
¿1
2
x，AH
¿3x
5
，∴S
¿1
2
•MN•AH
¿1
2×1
2x × 3x
5=3
20
x2．
②当8＜x＜12 时，如图 3中，作 QJ∥AB 交AC 于J，作 EK∥AB 交BC 于T，设 MN 交BC
于R．
∵FK∥AB，JQ∥AB，∴FK∥JQ，∴△AQJ∽△AFK，
∴
QJ
FK =AQ
AF =BQ
BT
，∴
5
2
FK =5
8=3
BT
，∴FK＝4，BT
¿24
5
，
∴CT＝BC﹣BT＝8
−24
5=16
5
，
∵MN∥FK，∴△CMN∽△CFK，
2
∴
CM
CF =MN
FK =CR
CT
，∴
12− x
4=MN
4=CR
16
5
，
∴MN＝12﹣x，CR
¿4
5
（12﹣x），
∴S＝S△ACF﹣S△AFK
¿1
2×
4×8
−1
2×
（12﹣x）
×4
5
（12﹣x）
¿−2
5
x2
+48
5x − 168
5
．
综上所述，S
¿
{
3
20 x2(0＜x ≤ 8)
−2
5x2+48
5x − 168
5(8＜x＜12)
．
【方法总结】动态问题中求图形面积(S)与时间(t)的基本步骤：（1）设动点运动的时
间为 t；（2）找到并标出动点的运动路线，并找到动点运动过程中的转折点 (即从某一
条边运动到另一条边的时刻)，再以此转折点为分类指标进行分类讨论，求出每个运动
轨迹上的图形面积 S与t之间的函数关系式；（3）图形面积 S与时间 t之间的函数关
系式的求解分为两种情况：(1)若所求图形的某些边在动点的运动轨迹上，且图形是规
则的(如三角形、矩形、正方形、圆)，则可直接求解：①若所求图形为三角形，则用
含t的代数式表示出三角形的底，再用勾股定理、三角形相似、线段成比例等知识求
出高，从而得出图形面积与时间 t之间的关系；②若所求图形为矩形、正方形，则用
含t的代数式表示出其边长，用面积公式即可求出图形面积与时间 t之间的关系；③若
所求图形为圆，则用含 t的代数式表示出其半径，用圆的面积公式即可得出图形面积
与时间 t之间的关系；(2)若所求图形的边都不在动点的运动轨迹上，则需利用割补法
将所求图形转化为边在动点运动轨迹上的图形(可以是三角形、矩形、正方形、圆，也
可以是几个图形的面积和差)，再利用(1)中的方法进行求解．
1．（2020•张家港市模拟）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB＝2，以 BC 为边向外
作正方形 BCDE，动点 M从A点出发，以每秒1个单位的速度沿着A→C→D的路线向D点
匀速运动（M不与 A、D重合）；过点 M作直线 l⊥AD，l与路线 A→B→D相交于 N，设运
3
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