专题11.7 二项分布、正态分布（精讲）-2022年新高考数学一轮复习学与练（原卷版）

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专题 11.7 二项分布、正态分布

【考纲要求】

1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念,理解 n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的

实际问题.

2．正态分布

(1)通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量．通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正

态分布的特征．

(2)了解正态分布的均值、方差及其含义..

【知识清单】

知识点 1. 条件概率

条件概率及其性质

(1)对于任何两个事件

和

，在已知事件

发生的条件下，事件

发生的概率叫做条件概率，用符号

 

/p B A

来表示，其公式为

   

 

/p AB

p B A P A



在古典概型中，若用

 

n A

表示事件

中基本事件的个数，则

   

 

/n AB

p B A n A



(2)条件概率具有的性质：

①

 

0 / 1p B A 

；

② 如果

和

是两互斥事件，则

     

/ / /p B C A p B A p C A 

．

知识点 2. 相互独立事件同时发生的概率

(1)对于事件

、

，若

的发生与

的发生互不影响，则称

、

是相互独立事件．

(2)若

与

相互独立，则

   

/p B A p B

，

         

/p AB p B A P A P A P B   

．

(3)若

与

相互独立，则

与

，

与

，

与

也都相互独立．

(4)若

     

p AB P A P B 

，则

与

相互独立．

知识点 3. 独立重复试验的概率

1．

次独立重复试验

(1)定义

一般地，在相同条件下重复地做 n次试验，各次试验的结果相互独立，称为 n次独立重复试验．

(2)公式

一般地，在 n次独立重复试验中，设事件 A发生的次数为 X，在每次试验中事件 A发生的概率为 p，那么在

n次独立重复试验中，事件 A恰好发生 k次的概率为 Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，(k＝0,1,2，…，n)．

知识点 4. 二项分布

1.若将事件 A发生的次数设为 X，发生的概率为 P，不发生的概率 q＝1－p，那么在 n次独立重复试验中，

事件 A恰好发生 k次的概率是 P(X＝k)＝Cpkqn－k(k＝0,1,2，…，n)

于是得到 X的分布列

X0 1 …k…n

PCp0qnCp1qn－1…Cpkqn－k…Cpnq0

由于表中第二行恰好是二项式展开式

(q＋p)n＝Cp0qn＋Cp1qn－1＋…＋Cpkqn－k＋…＋Cpnq0各对应项的值，称这样的离散型随机变量 X服从参数为

n，p的二项分布，记作 X～B(n，p)．

2.二项分布的期望、方差：

若

 

,X B n p

，则

 

E X np

若

 

,X B n p

，则

   

1D X np p 

．

知识点 5. 正态分布

1．正态曲线及其性质

(1)正态曲线：

函数 φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中实数 μ，σ(σ>0)为参数，我们称 φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲

线，简称正态曲线．

(2)正态曲线的性质：

① 曲线位于 x轴上方，与 x轴不相交；

② 曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ对称；

③ 曲线在 x＝μ处达到峰值；

④ 曲线与 x轴之间的面积为 1；

⑤当σ一定时，曲线的位置由 μ确定，曲线随着 μ的变化而沿 x轴平移，如图甲所示；

⑥当μ一定时，曲线的形状由 σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦

高”．总体分布越集中，如图乙所示：

甲　　　　　　　　　　　乙

2．正态分布

一般地，如果对于任何实数 a，b(a<b)，随机变量 X满足 P(a<X≤b)＝φμ，σ(x)dx，则称随机变量 X服从正态

分布(normal distribution)．正态分布完全由参数 μ和σ确定，因此正态分布常记作 N(μ，σ2)．如果随机变量

X服从正态分布，则记为 X～N(μ，σ2)．

3．正态总体三个特殊区间内取值的概率值

①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826；

②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544；

③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974．

4．3

原则

通常服从正态分布 N(μ，σ2)的随机变量 X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．

【考点梳理】

考点一：条件概率

【典例 1】（2019·北京东城�高二期末）一个不透明的袋子中，放有大小相同的 5个小球，其中 3个黑球，

2个白球．如果不放回的依次取出2个球．回答下列问题：

(Ⅰ)第一次取出的是黑球的概率；

(Ⅱ)第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率；

(Ⅲ)在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率．

【规律方法】

解决条件概率问题的步骤

第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现“已知”“在……前提下”等字眼，一般为条件概率．题目

中若没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响所求事件的概率时，也需注意是否为条件概率．若为条件

概率，则进行第二步．

第二步，计算概率，这里有三种思路：

思路一（定义法）：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求 P(B|A)；

思路二（基本事件法）：借助古典概型概率公式，先求事件 A包含的基本事件数 n(A)，再求事件 AB 所包

含的基本事件数 n(AB)，得 P(B|A)＝；

思路三（缩减样本空间法）：缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用

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