专题10（圆锥曲线中的范围与最值问题)(教案)-备战2021年高考数学中平面解析几何知识点提优（江苏专用）

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专题十 圆锥曲线中的范围与最值问题
例题 1.（2020 江苏，18 题）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆
E:
+¿
¿1
的左、右焦点分别为 、
，点 A在椭圆 E上且在第一象限内， ，直线 与椭圆 E相交于另一点 B．
(1)
求 的周长
;
(2)
在x轴上任取一点 P，直线 AP 与椭圆 E的右准线相交于点 Q，求 的最小值
;
设点 M在椭圆 E上，记 OAB 与MAB 的面积分别为 ， ，若
¿
，求点 M的坐标．
圆锥曲线中的范围与最值问题是高考热点，在高考中常常涉及此类问题且位于难题的
位置．本专题以圆锥曲线中的具体问题入手，通过对解决方法进行总结辨析，使学生
能够根据问题的条件寻找与设计更合理、更简捷的运算途径，并引导学生发现这类问
题所具有的更一般性规律 .
1. 直击高
考
1
【分析】
本题考查了椭圆中的综合问题，考查了最值问题，考查了运算求解能力，属于难度较大的题目．
思维升华
此类问题常考察圆锥曲线的的方程及其性质，直线方程的几种形式，直线与圆锥曲线的位置关系，弦长公
式等。该类问题的解题思路是“联立方程消元”、“点差法”、“设而不求”、“判别式法”等。在解题
过程中要根据题目灵活选择方法。
【答案】解：
(1)
的周长
¿2a+2c=6
．
(2)
由椭圆方程得
A¿
¿
，设点
P(t ,0)
，则直线 AP 方程为
y=¿
(x − t )
，
令
x=¿
¿4
得
¿
¿
，即
Q¿
¿
，
¿¿
¿
¿
−4t=¿
−4
−4
，即 的最小值为
−4
(3)
设O到直线 AB 的距离为 ，M到直线 AB 的距离为 ，
若
¿
，则
¿AB∨¿
¿
¿AB∨¿
3，即
¿
，
由
(1)
可得直线 AB 方程为
y=¿
(x+1)
，即
3x − 4y+3=0
，所以
¿
，
¿
．
由题意得，M点应为与直线 AB 平行且距离为 的直线与椭圆的交点，
设平行于 AB 的直线 为
3x − 4y+m=0
，与直线 AB 的距离为 ，
所以
¿
，即
m=−6
或12．
2
当
m=−6
时，直线 为
3x − 4y −6=0
，即
y=¿
(x − 2)
，
联立 可得
(x − 2)(7x+2)=0
，即 或
所以
M(2,0)
或
¿
，
−
¿.
当
m=12
时，直线 为
3x − 4y+12=0
，即
y=¿
(x+4)
，
联立 可得
+18 x+24=0
，
¿9
(36 −56)<0
，所以无解．
综上所述，M点坐标为
(2,0)
或
¿
，
−
¿.
例2.（2017 山东，21 题）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E：
x2
a2+y2
b2=1(a>b>0)
的离心率为
√
2
2
，焦距
为2．
(1)
求椭圆 E的方程；
(2)
如上图，动直线 l：
y=k1x −
√
3
2
交椭圆 E于A，B两点，C是椭圆 E上一点，直线 OC 的斜率为
k2
，
且
k1k2=
√
2
4. M
是线段 OC 延长线上一点，且
¿MC∨∶∨AB∨¿2∶3
，
⊙M
的半径为
¿MC∨¿
，
OS，OT 是
⊙M
的两条切线，切点分别为 S，
T .
求
∠SOT
的最大值，并求取得最大值时直线 l的斜率．
3
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