专题10 与三角形或四边形有关的证明与计算（解析版）

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专题十　与三角形或四边形有关的证明与计算

【专题解读】此类题型在近几年的中考中每年必考，均涉及证明和计算．此类题型的

考查形式比较灵活，证明常以相似和全等为载体，并结合三角形及四边形的知识来证明线

段的位置关系或数量关系，及特殊图形的形状探究；计算则把几何与代数知识结合起来，

渗透数形结合思想，综合性较强．

类型一与三角形有关的证明与计算

（2020•白云区模拟）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点 O，M分别是 Rt△ABC

的内心和外心，连接 OA，OB，OM．（1）求∠AOB 的度数；（2）延长 AC 至点 D，使

AD＝AB，连接 BD，求证：AO⊥BD；

（3）在（2）中，延长 BC 至点 E，使 BE＝AB，连接 DE，找出 DE 与OM 之间的等量关系，

并证明这个结论．

【思路点拨】（1）利用三角形内角和定理以及内心的性质求出∠OAB+∠OBA＝45°即可解

决问题．（2）利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题即可．

（3）结论：DE＝2OM．如图 2中，连接 OE，OD，延长 OM 到K，使得 MK＝OM，连接

AK，BK．证明△OAK≌△EOD（SAS），推出 OK＝ED 可得结论．

【自主解答】（1）解：∵∠C＝90°，

∴∠CAB+∠CBA＝90°，

∵点 O是△ABC 的内心，

∴∠OAB+∠OBA

¿1

∠CAB

∠CBA＝45°，

∴∠AOB＝180°﹣（∠OAB+∠OBA）＝135°．

（2）证明：如图 1中，

∵点 O是△ABC 的内心，

∴OA 平分∠BAD，∵AD＝AB，

∴AO⊥BD（等腰三角形三线合一）．

（3）解：结论：DE＝2OM．

理由：如图 2中，连接 OE，OD，延长 OM 到K，使得 MK＝OM，连接 AK，BK．

∵BE＝BA，∠OBE＝∠OBA，BO＝BO，

∴△OBE≌△OBA（SAS），

∴OA＝OE，∠BOE＝∠BOA＝135°，

∴∠AOE＝90°，同法可证∠DOB＝90°，OD＝OB，

∵AM＝MB，OM＝MK，∴四边形 AOBK 是平行四边形，

∴AK＝OB＝OD，AK∥OB，

∴∠KAO+∠AOB＝180°，∵∠AOB+∠EOD＝180°，

∴∠KAO＝∠EOD，∵OA＝OE，AK＝OD，

∴△OAK≌△EOD（SAS），∴OK＝ED，

∴OK＝2OM，∴DE＝2OM．

1．（2020•天河区一模）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O是AC 的中点，若 AB＝AO，

求∠ABO 的度数．

解：在 Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O是AC 的中点，

∴OB

¿1

AC＝OA，∵AB＝AO，

∴OB＝AB＝AO，

∴△ABO 为等边三角形，∴∠ABO＝60°．

2．（2020•天河区模拟）如图，AB＝ED，EF⊥AD，BC⊥AD，垂足分别为 F，C，AF＝

DC．求证：BC＝FE．

证明：∵AF＝DC，∴AC＝DF，

又∵EF⊥AD，BC⊥AD，AB＝ED，

∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），∴BC＝FE．

3．（ 2020• 龙岗区模拟）如图，在 △ ABC中， ∠ ABC ＝60° ，AD 、CE 分别平分

∠BAC、∠ACB，求证：AC＝AE+CD．

证明：在 AC 上取 AF＝AE，连接 OF，

∵AD 平分∠BAC、∴∠EAO＝∠FAO，

在△AEO 与△AFO 中，

{

AE =AF

∠EAO=∠FAO

AO=AO

∴△AEO≌△AFO（SAS），∴∠AOE＝∠AOF；

∵AD、CE 分别平分∠BAC、∠ACB，

∴∠ECA+∠DAC

¿1

∠ACB

∠BAC

¿1

（∠ACB+∠BAC）

¿1

（180°﹣∠B）＝60°

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