专题9.4 双曲线（精讲）（解析版）-2022年新高考数学一轮复习学与练

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专题 9.4 双曲线

【考纲要求】

1. 了解双曲线的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质，了解直线与双曲线的位置关系.

2．了解方程与曲线的对应关系和求曲线方程的基本方法.

3.理解数形结合、用代数方法处理几何问题的思想.了解圆锥曲线的简单应用.

【知识清单】

知识点 1．双曲线的定义及标准方程

1．双曲线的定义

满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线

(1)在平面内；

(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；

(3)这一定值一定要小于两定点的距离．

2．双曲线的标准方程

标准方程－＝1(

>0，

>0) －＝1(

>0，

>0)

图形

知识点 2．双曲线的几何性质

双曲线的几何性质

标准方程－＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)

图形

性

质

范围 x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a

对称性对称轴：坐标轴　对称中心：原点

顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)

渐近线 y＝±x y＝±x

离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中 c＝

实虚轴线段 A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段 B1B2叫作双曲线的虚

轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴

长．

a、b、c

的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)

【考点梳理】

考点一：双曲线的定义及标准方程

【典例 1】（2020·全国高考真题（文））设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，

点在上且，则的面积为（）

A． B．3 C． D．2

【答案】B

【解析】

由已知，不妨设，

则，因为，

所以点在以为直径的圆上，

即是以

为直角顶点的直角三角形，

故，

即，又，

所以，

解得，所以

故选：B

1 2

,F F

: 1

C x  

| | 2OP 

1 2

PF F△

1 2

( 2,0), (2,0)F F

1, 2a c 

1 2

| | 1 | |

OP F F 

1 2

F F

1 2

F F P

2 2 2

1 2 1 2

2 2

1 2

| | | | 16PF PF 

1 2

| | | | 2 2PF PF a  

1 2

4 | | | |PF PF  

2 2

1 2

| | | | 2PF PF 

1 2

| || | 16 2PF PF  

1 2

| || |PF PF

1 2

| || | 6PF PF 

1 2

F F P

S

△

1 2

1| || | 3

2PF PF 

【典例 2】（2020·全国高考真题（理））设双曲线

：（

>0，

>0）的左、右焦点分别为

1，

2，离心率为．

是

上一点，且

⊥

．若△

2的面积为 4，则

=（）

A．1 B．2 C．4 D．8

【答案】A

【解析】

，，根据双曲线的定义可得，

，即，

，，

，即，解得，

故选：A.

【规律方法】

1.双曲线定义的主要应用

(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．

(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||

1|－|

2||＝2

，运用平方的方法，建立

与|

1|·|

2|的联系．

2．求双曲线方程的思路

(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在

轴上或

轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根

据条件确定关于

，

的方程组，解出

2，

2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也

有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．

(2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：

一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是设双曲线的一般方程为

2＋

2＝1(

＜0)求解．

3.求双曲线方程要注意巧设双曲线（1）双曲线过两点可设为，（2）与

共渐近线的双曲线可设为，（3）等轴双曲线可设为

2 2

1( 0)mx ny mn  

2 2

x y

a b

 

2 2

( 0)

x y

a b

 

  

2 2 ( 0)x y

 

  

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