专题08 与函数相结合的概率综合问题（第四篇）（原卷版）

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第四篇概率与统计

专题 08 与函数相结合的概率综合问题

类型对应典例

利用函数的单调性（求导工具）求解概率的最值问题典例 1

利用构造函数（数学归纳法）求解概率的最值问题典例 2

利用二项式定理的估算（放缩法）求解概率的最值问题典例 3

利用二次函数性质概率分布、数学期望的最值典例 4

利用作商法求解二项分布的概率的最值问题典例 5

函数建模与概率统计的综合问题典例 6

概率统计与三角不等式证明的综合问题典例 7

【典例 1】【2020 届湖南省常德市高三上学期期末】

一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓后要么出现一次音乐，要么不出现音乐；

每盘游戏击鼓三次后，出现三次音乐获得 150 分，出现两次音乐获得 100 分，出现一次音乐获得 50 分，没

有出现音乐则获得-300 分.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.

（1）若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为，求的最大值点；

（2）以（1）中确定的作为的值，玩 3盘游戏，出现音乐的盘数为随机变量，求每盘游戏出现音

乐的概率，及随机变量的期望；

（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运

用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.

【思路引导】

（1）根据独立重复试验中概率计算,可得仅出现一次音乐的概率 .然后求得导函数 ,并令

求得极值点.再根据的单调情况,求得的最大值.

（2）由（1）可知, .先求得不出现音乐的概率, 由对立事件概率性质即可求得出现音乐的概率.

结合二项分布的期望求法,即可得随机变量的期望 ;

（3）求得每个得分的概率,根据公式即可求得得分的数学期望.构造函数,利用导函数即可证明数学期望为负

数,即可说明分数变少.

【典例 2】【2020 届湖南省汨罗市高三教学质量检测试卷（一)】

冠状病毒是一个大型病毒家族，己知可引起感冒以及中东呼吸综合征（）和严重急性呼吸综合征（

）等较严重疾病.而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒（）是以前从未在人体中发现的冠

状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.在较严

重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡.

某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有 n（）份血液样本，有以下两种检验方式：

方式一：逐份检验，则需要检验 n次.

方式二：混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验.

若检验结果为阴性，这 k份的血液全为阴性，因而这 k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为

阳性，为了明确这 k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这 k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总

共为.

假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果

的概率为 p（）.现取其中k（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验

的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为 .

（1）若，试求 p关于k的函数关系式；

（2）若 p与干扰素计量相关，其中（）是不同的正实数，

满足且（）都有成立.

（i）求证：数列等比数列；

（ii）当时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数

的期望值更少，求 k的最大值.

【思路引导】

（1）由题设可知，的所有可能取值为 1，，求，再根据 ,求

；

（2）（ⅰ）当时，，∴，令，则，

利用数学归纳法证明；

（ⅱ）由（ⅰ）可知，由可知，再设函数

（），利用函数的单调性求的最大值.

【典例 3】【2020 届广东省韶关市高三上学期期末调研】

某电子工厂生产一种电子元件，产品出厂前要检出所有次品.已知这种电子元件次品率为 0.01，且这种电子

元件是否为次品相互独立.现要检测 3000 个这种电子元件，检测的流程是：先将这3000 个电子元件分成个

数相等的若干组，设每组有个电子元件，将每组的个电子元件串联起来，成组进行检测，若检测通过，

则本组全部电子元件为正品，不需要再检测；若检测不通过，则本组至少有一个电子元件是次品，再对本

组个电子元件逐一检测.

（1）当时，估算一组待检测电子元件中有次品的概率；

（2）设一组电子元件的检测次数为，求的数学期望；

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