专题07 有关平面向量与三角形结合的问题 )(教案)-备战2021年高考数学中平面向量知识点提优（江苏专用）

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专题九 有关平面向量与三角形结合的问题
例题 1.（2020 浙江，17 题）已知单位向量
e1
⃗
，
e2
⃗
满足
¿2e1
⃗
− e2
⃗
∨≤
√
2
，设
a
⃗
=e1
⃗
+e2
⃗
，
b
⃗
=3e1
⃗
+e2
⃗
，向量
a
⃗
，
b
⃗
的夹角为
，则
cos2θ
的最小值为．
【分析】
本题考查了平面向量的数量积与夹角的运算问题，属于中档题．
设
e1
⃗
、
e2
⃗
的夹角为
α
，由题意求出
cosα ≥ 3
4
；再求
a
⃗
，
b
⃗
的夹角
θ
的余弦值
cos2θ
的最小值即可．
思维升华
(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义.
(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算.
基础知识
知识点一：
1.向量:既有大小又有方向的量叫向量;向量的大小叫做向量的模.
2.零向量:长度等于 0 的向量,其方向是任意的.
3.单位向量:长度等于 1 个单位的向量.
4.平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共向量,规定:0 与任一向量共线.
平面向量与三角形相结合问题是高考的常考题型．试题以中高档题为主，解决问题的
方法灵活多变，如运用数量积定义，运用坐标计算等．为此，要充分利用图形特征，
灵活上用合理的方法解决，形成完整的解题体系 .
1. 直击高
考
1
5.相等向量:长度相等且方向相同的向量
6.相反向量:长度相等且方向相反的向量知识点二:平面向量的线性运算
知识点二：
向量的数乘运算及其几何意义
1.定义:实数 与向量 的积是一个向量,这种运算叫向量的数乘,记作 ,它的长度与方向规定如下:
当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向相反；当 时，
.
2. 运算律:设,是两个实数,则:
① ;
② ;
③
知识点三:
共线向量:
共线向量定理:向量 与 共线,当且仅当有唯一一个实数 ,使得 .
【答案】
28
29
【解析】
【解答】
解：设
e1
⃗
、
e2
⃗
的夹角为
α
，由
e1
⃗
，
e2
⃗
为单位向量，满足
¿2e1
⃗
− e2
⃗
∨≤
√
2
，
2
所以
4e1
⃗ 2−4e1
⃗
⋅e2
⃗
+e2
⃗ 2=4−4cosα+1≤2
，
解得
cosα ≥ 3
4
；
又
a
⃗
=e1
⃗
+e2
⃗
，
b
⃗
=3e1
⃗
+e2
⃗
，且
a
⃗
，
b
⃗
的夹角为
θ
，
所以
a
⃗
⋅b
⃗
=3e1
⃗ 2+4e1
⃗
⋅e2
⃗
+e2
⃗ 2=4+4cosα
，
a
⃗2=e1
⃗ 2+2e1
⃗
⋅e2
⃗
+e2
⃗ 2=2+2cosα
，
b
⃗2=9e1
⃗ 2+6e1
⃗
⋅e2
⃗
+e2
⃗ 2=10+6cosα
；
则
cos2θ=¿¿
¿4
3−
8
3
5+3cosα
，
所以
cosα=3
4
时，
cos2θ
取得最小值为
4
3−
8
3
5+3×3
4
=28
29
．
故答案为
28
29
．
例2.（2020 江苏，模拟题）已知向量
a
⃗
=
(
sin x , 3
4
)
，
b
⃗
=(cos x , −1)
．
(1)
当
a
⃗
/¿b
⃗
时，求 tan2x的值；
(2)
设函数
f(x)=2(a
⃗
+b
⃗
)· b
⃗
，且
x∈
(
0,π
2
)
，求
f(x)
的最大值以及对应的 x的值．
3
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