专题06 三角形中的最值问题 （原卷版）
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第一篇 三角函数与解三角形
专题 06 三角形中的最值问题
类型 对应典例
求三角形中角相关的最值问题 典例 1
求三角形中边相关的最值问题 典例 2
求三角形中面积相关的最值问题 典例 3
求三角形中周长相关的最值问题 典例 4
平面图形中三角形面积的最值问题 典例 5
求三角形中相关的混合型的最值问题 典例 6
求三角形中线段的最值问题 典例 7
【典例 1】【2021·湖南衡阳市·高三一模】 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ，
成等差数列.
（1）若 ，求 ；
（2）求 的取值范围.
【思路引导】（1）由等差数列得 ，由正弦定理化边为角，利用 得 ，代入可
求得 角；
（2）由余弦定理表示出 ，代入 ，用基本不等式得 的范围，从而得 角范围．
【典例 2】【2021·河北石家庄市·高三一模】
（）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，满足 .
1
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）若 ，求 的取值范围.
【思路引导】（I）根据正弦定理转化条件为 ，
再由 ，带入整理即可得解；
（Ⅱ）利用余弦定理 ，再结合基本不等式即可得解.
【典例 3】【2021·湖北荆门市·高三月考】
已知 a，b，c分别为 内角 A，B，C的对边，且 ．
（1）求 B的值；
（2）若 ，求 的面积的最大值．
【思路引导】（1）由已知等式得 ，根据余弦定理有 ，即可求 B的值；
（2）由余弦定理，结合基本不等式求 的范围，根据三角形面积公式有 ，即可求面积的最
大值，注意等号成立的条件.
【典例 4】【2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三期末】
2
已知在△ABC 中， sin（A+B）＝1+2sin2．
（1）求角 C的大小；
（2）若∠BAC 与∠ABC 的内角平分线交于点
Ⅰ
，△ABC 的外接圆半径为 2，求△ABI 周长的最大值．
【思路引导】（1）利用降幂公式、两角和的正弦公式变形可得 sin（C+）＝1，再根据角的范围可得解；
（2）利用正弦定理求出 ，求出 ，设出 ，将 用 表示，根据三角函数知识求出
的最大值可得解.
【典例 5】【2020 届吉林省长春市东北师大附中等六校高三联合模拟】
如图，在矩形 中， ， ，点 、 分别在边 、 上， ，
.
.
（1）求 ， （用 表示）；
（2）求 的面积 的最小值.
【思路引导】
（1）根据 ， ，分别在 和 中，利用锐角三角函数的定义求出 和
3
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