专题06 导数（解析版）-【新高考】2021年高考数学考前复习高频易考解答题专题

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专题 06 导数

知识必备+难点剖析+模拟演练

知识必备

1．函数 y＝f(x)从x1到x2的平均变化率

函数 y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为，若 Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为.

2．函数 y＝f(x)在x＝x0处的导数

(1)定义

称函数 y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim ＝lim 为函数 y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作 f′(x0)，即 f′(x0)＝lim ＝

lim .

(2)几何意义

函数 f(x)在点 x0处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y＝f(x)上点( x 0， f ( x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为 y

－ f ( x 0) ＝ f ′ ( x 0)( x － x 0) ．

3．函数 f(x)的导函数

称函数 f′(x)＝lim 为f(x)的导函数，导函数有时也记作 y′.

4．基本初等函数的导数公式

原函数导函数

f(x)＝c (c为常数)f′(x)＝__0__

f(x)＝xα (α为实数)f′(x)＝αx α

－

f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x

f(x)＝cos x f′(x)＝－ sin _x

f(x)＝ax (a>0，a≠1) f′(x)＝a x

ln _a

f(x)＝exf′(x)＝e x

f(x)＝logax (a>0，a≠1) f′(x)＝

f(x)＝ln x f′(x)＝　　

f(x)＝tan x f′(x)＝

f(x)＝cot x f′(x)＝－

5. 导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f ′ ( x )± g ′ ( x ) ；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f ′ ( x ) g ( x ) ＋ f ( x ) g ′ ( x ) ；

(3)′＝ (g(x)≠0)．

6．函数的单调性

在某个区间(a，b)内，如果 f′(x)>0，那么函数 y＝f(x)在这个区间内是增加的；如果 f′(x)<0，那么函数 y＝f(x)在

这个区间内是减少的．

7．函数的极值

(1)判断 f(x0)是极值的方法

一般地，当函数 f(x)在点 x0处连续时，

① 如果在 x0附近的左侧 f ′ ( x )>0 ，右侧 f ′ ( x )<0 ，那么 f(x0)是极大值；

② 如果在 x0附近的左侧 f ′ ( x )<0 ，右侧 f ′ ( x )>0 ，那么 f(x0)是极小值．

(2)求可导函数极值的步骤

①求f′(x)；

② 求方程 f ′ ( x ) ＝ 0

的根；

③ 检查 f′(x)在方程 f ′ ( x ) ＝ 0

的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；

如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值．

8．函数的最值

(1)在闭区间[a，b]上连续的函数 f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．

(2)若函数 f(x)在[a，b]上是增加的，则 f ( a ) 为函数的最小值，f ( b ) 为函数的最大值；若函数 f(x)在[a，b]上是减少

的，则 f ( a ) 为函数的最大值，f ( b ) 为函数的最小值．

(3)设函数 f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求 f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：

①求f(x)在(a，b)内的极值；

②将f(x)的各极值与 f ( a ) ， f ( b ) 进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

9．不等式问题

(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题．

(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题．

难点剖析

1．深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系

(1)函数 f(x)在点 x0处的导数 f′(x0)是一个常数；

(2)函数 y＝f(x)的导函数，是针对某一区间内任意点 x而言的．如果函数 y＝f(x)在区间(a，b)内每一点 x都可导，

是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值 x0都对应着一个确定的导数 f′(x0)．这样就在开区间(a，b)内构成了一个

新函数，就是函数 f(x)的导函数 f′(x)．在不产生混淆的情况下，导函数也简称导数．

2．曲线 y＝f(x)“在点 P(x0，y0)处的切线”与“过点 P(x0，y0)的切线”的区别与联系

(1)曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的切线是指 P为切点，切线斜率为 k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．

(2)曲线 y＝f(x)过点 P(x0，y0)的切线，是指切线经过 P点．点 P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可

能有多条．

3．可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的

情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．

4．f′(x)>0 在(a，b)上成立是 f(x)在(a，b)上是增加的充分条件．

5．对于可导函数 f(x)，f′(x0)＝0是函数 f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．

6.利用分离参数法来确定不等式 ,（

x∈D

为实参数）恒成立中参数

的取值范围的基本步骤:

①将参数与变量分离,即化为（或）恒成立的形式；

②求在上的最大（或最小）值；

③解不等式 (或) ,得

的取值范围.

7.利用函数性质求解恒成立问题，常见的是利用函数单调性求解函数的最大、最小值。因含有参数，大多要分类讨论.

① ∀x∈D,均有 f(x)>A恒成立,则f(x)min>A；

② ∀x∈D,均有 f(x)﹤A恒成立,则

f(x)max<A ；

③ ∀x∈D,均有 f(x) >g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) >0,∴ F(x)min >0；

④ ∀x∈D,均有 f(x)﹤g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) <0,∴ F(x) max <0；

⑤ ∀x1∈D, ∀x2∈E,均有 f(x1) >g(x2)恒成立,则f(x)min> g(x)max；

⑥ ∀x1∈D, ∀x2∈E,均有 f(x1) <g(x2)恒成立,则f(x) max < g(x) min.

8.对于参数不能单独放在一侧的,即不能用分离参数法解决问题时，可以利用函数图象来解：

利用数形结合解决恒成立问题,应先构造函数,作出符合已知条件的图形,再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关

系,得出答案或列出条件,求出参数的范

围.

（1）对于一次函数

f(x)=kx+b , x ∈[m , n]

有：

f(x)>0恒成立⇔¿

{

f(m)>0¿ ¿¿

（2）对于二次函数

f(x)=ax 2+bx +c(a≠0)

f(x)>0x在∈R

上恒成立

⇔a>0Δ且<0

；

f(x)<0x在∈R

上恒成立

⇔a<0Δ且<0

模拟演练

题型一、零点问题

1．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高二月考（文））已知函数，为实数．

（1）若直线是在处的切线，求的值：

（2）若有两个零点，，且，求的取值范围；

（3）若函数在上单调递增，求的值．

【解析】（1）设切点为，因为，所以，

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