专题5.2 平面向量基本定理及坐标表示（原卷版）

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2021 年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破

专题 5.2 平面向量基本定理及坐标表示

一、题型全归纳....................................................................................................................................................... 1

题型一平面向量基本定理及其应用.............................................................................................................. 1

题型二平面向量的坐标运算.......................................................................................................................... 4

题型三平面向量共线的坐标表示.................................................................................................................. 5

命题角度一　利用两向量共线求参数或坐标......................................................................................... 5

命题角度二　利用向量共线求解三点共线问题..................................................................................... 6

题型四平面向量与三角形的“四心”问题.................................................................................................. 7

一、平面向量与三角形的“重心”问题................................................................................................ 8

二、平面向量与三角形的“内心”问题................................................................................................ 8

三、平面向量与三角形的“垂心”问题................................................................................................ 9

四、平面向量与三角形的“外心”问题.............................................................................................. 10

二、高效训练突破................................................................................................................................................. 11

一、题型全归纳

题型一平面向量基本定理及其应用

【题型要点】1．平面向量基本定理

如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数

λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2．

其中，不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

2.平面向量基本定理应用的实质和一般思路

(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运

算．

(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，

再通过向量的运算来解决．

【易错提醒】在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的

一些性质定理．　

【例 1】如图，在直角梯形 ABCD 中，AB＝2AD＝2DC，E为BC 边上一点，BC＝3EC，F为AE 的中点，

则BF＝(　　)

A.AB－AD　　　　 B．AB－AD

C．－AB＋AD D．－AB＋AD

【例 2】(2020·西安调研)如图，在平行四边形 ABCD 中，O是对角线 AC，BD 的交点，N是线

段OD 的中点，AN 的延长线与 CD 交于点 E，若AE＝mAB＋AD，则实数 m的值为________．

题型二平面向量的坐标运算

【题型要点】向量坐标运算的策略

① 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行；

② 若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标；

③ 解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．

【例 1】已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，CN＝－2b.

(1)求3a＋b－3c；

(2)求满足 a＝mb＋nc的实数 m，n；

(3)求M，N的坐标及向量MN的坐标．

【例 2】(2020·厦门外国语学校模拟)已知点 A(－1,1)，B(0,2)，若向量AC＝(－2,3)，则向量BC＝(　　)

A．(3，－2) B．(2，－2)

C．(－3，－2) D．(－3,2)

【例 3】已知 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则 c等于(　　)

A．－a＋b B.a－b

C．－a－b D．－a＋b

题型三平面向量共线的坐标表示

命题角度一　利用两向量共线求参数或坐标

【题型要点】1．平面向量共线的充要条件的两种形式

(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b的充要条件是 x1y2－x2y1＝0．

(2)若a∥b(b≠0)，则 a＝λb.

2．利用向量共线求参数值

向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由向量平行求参数值．当两向量的坐标均非零时，可

以利用坐标对应成比例来求解．

【例 1】(2020·开封模拟)已知平面向量 a，b，c，a＝(－1，1)，b＝(2，3)，c＝(－2，k)，若(a＋b)∥c，则

实数 k＝________．

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