专题05 正态分布与原则（第四篇）（解析版）

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第四篇 概率与统计
专题 05 正态分布与三 原则
类型 对应典例
非标准正态分布转化为标准正态分布的应用计算概率 典例 1
非标准正态分布应用计算概率 典例 2
平均值（期望）和方差与正态分布的联系 典例 3
三 原则的应用判断 典例 4
正态分布与线性相关相联系 典例 5
正态分布与频率分布直方图想联系 典例 6
【典例 1】【河南省洛阳市 2019-2020 学年高三上学期第一次统一考试】
“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正
选拔人才的有效途径，正被广泛采用.每次考试过后，考生最关心的问题是:自己的考试名次是多少?自已能
否被录取?能获得什么样的职位? 某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用 名，其中 个
高薪职位和 个普薪职位.实际报名人数为 名，考试满分为 分.(一般地，对于一次成功的考试来
说，考试成绩应服从正态分布. )考试后考试成绩的部分统计结果如下:
考试平均成绩是 分， 分及其以上的高分考生 名.
(1)最低录取分数是多少?(结果保留为整数)
(2)考生甲的成绩为 分，若甲被录取，能否获得高薪职位?若不能被录取，请说明理由.
参考资料:(1)当 时，令 ，则 .
(2)当 时， ， ，
.
1
【思路引导】
（1）利用考试的平均成绩、高分考生的人数，以及题目所给正态分布的参考资料，求得考生成绩 的分
布 ，利用录取率 列方程，由此求得最低录取分数线.
（2）计算出不低于考生甲的成绩的人数约为 ，由此判断出甲能获得高薪职位.
解：
(1)设考生成绩为 ，则依题意 应服从正态分布，即 .
令 ，则 .
由 分及其以上的高分考生 名可得
即 ，亦即 .
则 ，解得 ，
设最低录取分数线为 ，则
则 ，
.
即最低录取分数线为 分或 分.
(2)考生甲的成绩 ，所以能被录取.
，
2
表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的 ，
即考生甲大约排在第 名，排在 名之前，所以他能获得高薪职位.
【典例 2】【河南省南阳市第一中学 2019-2020 学年高三上学期第二次开学考试】
2019 超长“三伏”来袭，虽然大部分人都了解“伏天”不宜吃生冷食物，但随着气温的不断攀升，仍然无
法阻挡冷饮品销量的暴增.现在，某知名冷饮品销售公司通过随机抽样的方式，得到其100 家加盟超市 3天
内进货总价的统计结果如下表所示：
组别(单位：百元）
频数 3 11 20 27 26 13
(1)由频数分布表大致可以认为，被抽查超市 3天内进货总价 ，μ近似为这100 家超市 3天
内进货总价的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），利用正态分布，求
；
(2)在(1)的条件下，该公司为增加销售额，特别为这100 家超市制定如下抽奖方案：
①令m表示“超市 3天内进货总价超过 μ的百分点”，其中 .若 ，则该超市获
得1次抽奖机会；，则该超市获得 2次抽奖机会；，则该超市获得 3次抽奖机会；
，则该超市获得 4次抽奖机会；，则该超市获得 5次抽奖机会；，则该超
市获得 6次抽奖机会.另外，规定 3天内进货总价低于 μ的超市没有抽奖机会；
②每次抽奖中奖获得的奖金金额为1000 元，每次抽奖中奖的概率为 .
设超市 A参加了抽查，且超市 A在3天内进货总价 百元.记X（单位：元)表示超市 A获得的奖金
总额，求 X的分布列与数学期望.
附参考数据与公式： ，若 ，则 ，
3
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