专题05 等差数列和等比数列的证明问题（解析版）

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第二篇 数列与不等式
专题 05 等差数列和等比数列的证明问题
类型 对应典例
由递推式证明一个数列为等比数列 典例 1
由数列内部构造新数列证明为等差数列 典例 2
由两个数列结合构造数列证明等差、等比数列 典例 3
由复杂递推式转化构造证明等差数列 典例 4
由两个数列的相关性证明数列为等差等比数列 典例 5
探究数列是否为等差等比数列，说明理由 典例 6
与概率统计相结合的数列问题的证明 典例 7
【典例 1】【2021·辽宁高三二模】
已知数列 的前 项和为 ，且满足 .
（1）求证：数列 是等比数列；
（2）记 ，求证：数列 的前 项和 .
【思路引导】(1)由 得 ,作差得 ,进而得 ,故
数列 是等比数列；
（2）由（1）得 ，故 ，再根据裂
项求和证明即可.
【解析】（1）因为 ①，所以 ②
由① ②得， .两边同时加 1得 ，
1
所以 ，故数列 是公比为 2的等比数列.
（2）令 ， ，则 .
由 ，得 .
因为 ，
所以
.
因为 ，所以
所以 .
【典例 2】【2021 安徽省合肥市高三一模联合】
设 是数列 的前 项和， ，且 ， ， ．
（1）求证：数列 为等差数列；
（2）求数列 的通项公式．
【思路引导】（1）先根据 得出 从第二项起成等差数
列，再根据 ， ， 得出 是等差数列；（2）由（1）得 ，
然后利用累加法求出 ，最后验证 即可得解．
2
【解析】（1）当 时，由 ，可得 ，
即 ，整理得 ，
则数列 从第二项起成等差数列．
因为 ， ， ，所以 ，符合上式，
所以数列 是等差数列．
（2）由（1）知 ．
当 时，
，
又由 ，经验证也符合上式，
所以数列 的通项公式为 ．
【典例 3】【2019 年全国统一高考数学试卷（理科)（新课标Ⅱ)】
已知数列{an}和{bn}满足 a1=1，b1=0， ， .
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.
【思路引导】
(1)可通过题意中的 以及 对两式进行相加和相减即可推导出数列
是等比数列以及数列 是等差数列；
(2)可通过(1)中的结果推导出数列 以及数列 的通项公式，然后利用数列 以及数
列 的通项公式即可得出结果．
解：
3
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