专题05 (有关平面向量的最值问题) (教案)-备战2021年高考数学中平面向量知识点提优（江苏专用）

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专题八 有关平面向量的最值问题
例题 1.（2018 浙江，9题）已知
a
⃗
，
b
⃗
，
e
⃗
是平面向量，
e
⃗
是单位向量．若非零向量
a
⃗
与
e
⃗
的夹角为
π
3
，向量
b
⃗
满足
b
⃗2−4e
⃗
⋅b
⃗
+3=0
，则
的最小值是
()
A.
√
3−1
B.
√
3+1
C. 2D.
2−
√
3
【分析】
本题考查平面向量的数量积运算，考查数学转化思想方法与数形结
合的解题思想方法，属难题．
把等式
b
⃗2−4e
⃗
⋅b
⃗
+3=0
变形，可得得
(b
⃗
− e
⃗
)⋅(b
⃗
−3e
⃗
)=0
，即
(b
⃗
− e
⃗
)⊥(b
⃗
−3e
⃗
)
，设
e
⃗
=(1,0)
，则
b
⃗
的终点在以
(2,0)
为圆心，以
1为半径的圆周上，再由已知得到
a
⃗
的终点在不含端点 O的两条射
线
y=±
√
3x(x>0)
上，画出图形，数形结合得答案．
思维升华
(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义.
(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算.
与平面向量共线有关的最值问题是高考的热点与难点，常以中档小题、压轴小题出
现．解决此类问题需要先根据题中的向量关系得出未知元之间的关系式，再求出目标
的最值．本专题主要研究平面向量线性表示背景下的最值问题，关键是向量关系数量
化．
1. 直击高
考
1
基础知识
知识点一：
1.向量:既有大小又有方向的量叫向量;向量的大小叫做向量的模.
2.零向量:长度等于 0 的向量,其方向是任意的.
3.单位向量:长度等于 1 个单位的向量.
4.平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共向量,规定:0 与任一向量共线.
5.相等向量:长度相等且方向相同的向量
6.相反向量:长度相等且方向相反的向量知识点二:平面向量的线性运算
知识点二：
向量的数乘运算及其几何意义
1.定义:实数 与向量 的积是一个向量,这种运算叫向量的数乘,记作 ,它的长度与方向规定如下:
当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向相反；当 时，
.
2. 运算律:设,是两个实数,则:
① ;
② ;
③
知识点三:
2
共线向量:
共线向量定理:向量 与 共线,当且仅当有唯一一个实数 ,使得 .
【答案】A
【解答】
解：由
b
⃗2−4e
⃗
⋅b
⃗
+3=0
，得
(b
⃗
− e
⃗
)⋅(b
⃗
−3e
⃗
)=0
，
∴(b
⃗
− e
⃗
)⊥(b
⃗
−3e
⃗
)
，
如图，不妨设
e
⃗
=(1,0)
，
则
b
⃗
的终点在以
(2,0)
为圆心，以 1为半径的圆周上，
又非零向量
a
⃗
与
e
⃗
的夹角为
π
3
，则
a
⃗
的终点在不含端点 O的两条射线
y=±
√
3x(x>0)
上．
不妨以
y=
√
3x
为例，则
¿a
⃗
− b
⃗
∨¿
的最小值是
(2,0)
到直线
√
3x − y =0
的距离减 1．
即
¿2
√
3∨¿
√
3+1−1=
√
3−1¿
．
故选：A．
例2.（2017 四川，12 题）在矩形 ABCD 中，
AB=1
，
AD=2
，动点 P在以点 C为圆心且与 BD 相切的圆
上．若
AP
⃗
=λ AB
⃗
+μ AD
⃗
，则
λ+μ
的最大值为
()
A. 3B.
2
√
2
C.
√
5
D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了向量的坐标运算，三角函数的图象与性质，考查了学生的运算能力和转化能力，属于较难题．
3
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