专题4.2 直线、圆的位置关系- 2020-2021学年高一数学同步课堂帮帮帮（人教版必修2）

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第四章圆与方程

4.2 直线、圆的位置关系

一、直线与圆的位置关系及判断

1．直线与圆的位置关系

（1）直线与圆____________，有两个公共点；

（2）直线与圆____________，只有一个公共点；

（3）直线与圆____________，没有公共点．

2．直线与圆的位置关系的判断方法

（1）几何判定法：

设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离：

①d>r⇔圆与直线____________；

②d＝r⇔圆与直线____________；

③d<r⇔圆与直线____________．

（2）代数判定法：

由消元，得到一元二次方程的判别式，则

①⇔直线与圆____________；

②⇔直线与圆____________；

③⇔直线与圆____________．

二、弦长问题

设直线的方程为，圆的方程为，弦长的求法有几何法和代数法：

（1）几何法:如图（1）,直线与圆交于两点,设弦心距为 ,圆的半径为 ,弦长为 ,则有

(

|AB|

)

(

|AB|

)

,即

√

r2-d2

√

r2-d2

（2）代数法:如图（2）,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是 ,则

(直线的斜率存在).

几何法比代数法运算量小,也比较直观、简单,故通常采用几何法解决圆的有关弦长问题．

三、圆与圆的位置关系

1．圆与圆的位置关系

圆与圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含,如图所示：

外离和内含统称为相离；外切和内切统称为相切.两圆相离——没有公共点，两圆相切——有惟一公共点，

两圆相交——有两个不同的公共点.

2．圆与圆位置关系的判断

（1）几何法

位置关系公共点个数圆心距与半径的关系图示

两圆相离

两圆内含

两圆相交 2

两圆内切

两圆外切

其中和分别是圆和圆的半径, .

（2）代数法

联立两圆的方程组成方程组,则方程组解的个数与两圆的位置关系如下:

方程组解的个数 2 1 0

两圆的公共点个数 2 1 0

两圆的位置关系 ____________.____________ 相离或内含

四、直线和圆的方程的应用

直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中有着广泛的应用,用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”:

第一步:建立适当的平面直角坐标系,用____________表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数

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