专题4.2 简单的三角恒等变换（原卷版）

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2021 年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破
专题 4.2 简单的三角恒等变换
目录
一、题型全归纳.............................................................................................................................................................1
题型一 两角和、差及倍角公式的直接应用..................................................................................................1
题型二 　三角函数公式的逆用与变形用..........................................................................................................3
题型三 和差公式的灵活运用..............................................................................................................................4
类型一　角的变换.........................................................................................................................................4
类型二　变名问题.........................................................................................................................................6
题型四　三角函数式的化简................................................................................................................................6
题型五　三角函数的求值.....................................................................................................................................8
类型一　给角求值.........................................................................................................................................8
类型二　给值求值.........................................................................................................................................8
类型三　给值求角.......................................................................................................................................10
题型六　三角恒等变换的综合应用...................................................................................................................11
类型一 研究三角函数的图象问题............................................................................................................11
类型二 研究三角函数的性质问题..........................................................................................................11
二、高效训练突破.......................................................................................................................................................12
1
一、题型全归纳
题型一 两角和、差及倍角公式的直接应用
【题型要点】1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.
C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.
(2)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.
S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.
(3)T(α＋β)：tan(α＋β)＝
(
α , β , α +β≠π
2+kπ , k ∈Z
)
T(α－β)：tan(α－β)＝
(
α , β , α−β≠π
2+kπ , k ∈Z
)
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)S2α：sin2α＝2sinαcosα.
(2)C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(3)T2α：tan2α＝
(
α≠π
4+kπ α且≠π
2+kπ ，k∈Z
)
.
3.三角函数公式的应用策略
(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．　
【例 1】(2020·山西大学附中模拟)已知
cos
(
π
2+α
)
＝2cos(π－α)，则
tan
(
π
4−α
)
＝(　　)
A．－4 B．4
C．－ D.
2
【例 2】．(2020·长沙模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，角 θ的顶点在原点，始边与 x轴的非负半轴重合，
终边过点
(
1
2,
√
3
2
)
，则
cos
(
2θ+π
3
)
＝________.
题型二 　三角函数公式的逆用与变形用
【题型要点】(1)和差角公式的常见变形
sin ①αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β；
cos ②αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β；
tan ③α±tan β＝tan(α±β)·(1 tan ∓αtan β)．
(2)二倍角正、余弦公式的常见变换方式
① 配方变换：1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2；
② 因式分解变换：cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝cos2 α－sin2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)；
③ 降幂扩角变换：cos2α＝，sin2α＝；
④ 升幂缩角变换：1＋cos α＝2cos2，
1－cos α＝2sin2；
⑤ 公式变换：cos α＝，sin α＝.　
【例 1】已知 sinα＋cosα＝，则 cos4α＝________.
【例 2】(2020·四川乐山二模)化简 sin2
＋sin2
(
α+π
6
)
－sin2α的结果是________．
3
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