专题4.1 圆的方程-2020-2021学年高一数学同步课堂帮帮帮（人教版必修2）

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第四章圆与方程

4.1 圆的方程

一、圆的标准方程

1．圆的标准方程

基本

要素

当圆心的位置与半径的大小确定后，圆就唯一确定了，因此，确定一个圆的基本要素是

__________和__________

标准

方程圆心为，半径为 r的圆的标准方程是________________

图示

说明

若点在圆上，则点的__________适合方程；反

之，若点的坐标适合方程，则点 M在__________上

2．圆的标准方程的推导

如图，设圆的圆心坐标为，半径长为 r(其中 a,b,r都是常数，r>0).设为该圆上任意一点，

那么圆心为 C的圆就是集合 .由两点间的距离公式，得圆上任意一点 M的坐标(x,y)

满足的关系式为 ①，①式两边平方，得 .

3．点与圆的位置关系

圆C：，其圆心为，半径为，点，设

位置关系与的大小图示点P的坐标的特点

点在圆外

点在圆上

点在圆内

二、圆的一般方程

1．圆的一般方程的定义

当时，方程表示一个圆，这个方程叫做圆的一般方程，

其中圆心为________________，半径 _________________.

2．圆的一般方程的推导

把以为圆心，为半径的圆的标准方程展开，并整理得

.取，得：

.①

把①的左边配方，并把常数项移到右边，得 .

当且仅当_______________时，方程表示圆，且圆心为__________，半径长为___________；

当时，方程只有实数解，所以它表示一个点____________；

当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．

3．点与圆的位置关系

点与圆的位置关系是：

在圆内⇔_______________________，

在圆上⇔_______________________，

在圆外⇔_______________________.

三、待定系数法求圆的一般方程

求圆的方程常用“待定系数法”，用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：

① 根据题意，选择____________________；

② 根据条件列出关于或的________；

③ 解出或，代入标准方程或一般方程．

四、轨迹和轨迹方程

1．轨迹和轨迹方程的定义

平面上一动点 M，按照一定规则运动，形成的曲线叫做动点 M的轨迹.在坐标系中，这个轨迹可用一个

方程表示，这个方程就是轨迹方程.

2．求轨迹方程的五个步骤

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