专题3.6 高考解答题热点题型（三）利用导数探究函数零点问题（解析版）

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2021 年高考文科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破

专题 3.6 高考解答题热点题型（三）利用导数探究函数零点问题

一、题型全归纳....................................................................................................................................................... 1

题型一判断、证明或讨论函数零点的个数............................................................................................... 1

题型二　已知零点个数求参数范围.............................................................................................................. 3

高效训练突破................................................................................................................................................... 6

一、题型全归纳

题型一判断、证明或讨论函数零点的个数

【题型要点】判断函数零点个数的三种方法

直接法令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数

画图法转化为两个易画出图象的函数，看其交点的个数即可

定理法利用零点存在性定理判定，可结合最值、极值去解决

【例 1】(2019·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝2sin x－xcos x－x，f′(x)为f(x)的导数．

(1)证明：f′(x)在区间(0，π)存在唯一零点；

(2)若x[0∈，π]时，f(x)≥ax，求 a的取值范围．

【解】(1)证明：设 g(x)＝f′(x)，则 g(x)＝cos x＋xsin x－1，g′(x)＝xcos x.

当x∈

(

0,π

)

时，g′(x)＞0；当 x∈

(

2, π

)

时，g′(x)＜0，所以 g(x)在

(

0,π

)

上单调递增，在

(

2, π

)

上单

调递减．

又g(0)＝0，

(

)

＞0，g(π)＝－2，

故g(x)在(0，π)存在唯一零点．

所以 f′(x)在区间(0，π)存在唯一零点．

(2)由题设知 f(π)≥aπ，f(π)＝0，可得 a≤0.

由(1)知，f′(x)在(0，π)只有一个零点，设为 x0，且当 x(0∈，x0)时，f′(x)＞0；

当x(∈x0，π)时，f′(x)＜0，所以 f(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，π)上单调递减．

又f(0)＝0，f(π)＝0，所以当 x[0∈，π]时，f(x)≥0.

又当 a≤0，x[0∈，π]时，ax≤0，故 f(x)≥ax.

因此，a的取值范围是(－∞，0]．

【例 2】已知 f(x)＝＋－3，F(x)＝ln x＋－3x＋2.

(1)判断 f(x)在(0，＋∞)上的单调性；

(2)判断函数 F(x)在(0，＋∞)上零点的个数．

【答案】1（f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增）（3）个

【解析】：(1)f′(x)＝－＋＝，

令f′(x)＞0，解得 x＞1，令 f′(x)<0，解得 0<x<1，

所以 f(x)在(0，1)上单调递减，

在(1，＋∞)上单调递增．

(2)F′(x)＝f(x)＝＋－3，

由(1)得∃x1，x2，满足 0<x1<1<x2，

使得 f(x)在(0，x1)上大于 0，在(x1，x2)上小于 0，在(x2，＋∞)上大于 0，

即F(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增，

而F(1)＝0，当 x→0 时，F(x)→－∞，

当x→＋∞时，F(x)→＋∞，

画出函数 F(x)的草图，如图所示．

故F(x)在(0，＋∞)上的零点有 3个．

题型二　已知零点个数求参数范围

【题型要点】已知函数(方程)零点的个数求参数范围

(1)函数在定义域上单调，满足零点存在性定理．

(2)若函数不是严格的单调函数，则求最小值或最大值结合图象分析．

(3)分离参数后，数形结合，讨论参数所在直线与函数图象交点的个数．

【例 1】(2020 年新课标全国一卷)已知函数 .

（1）当时，讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求的取值范围.

【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）.

【解析】（1）当时，，，

令，解得，令，解得，

所以的减区间为，增区间为；

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