专题3.4 数列的综合问题（结构不良型）（新高考）（解析版）

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专题 3.4 数列的综合问题（结构不良型）
1．等差（比）数列问题解决的基本方法：
基本量代换和灵活运用性质.
2．“结构不良问题”
此类试题是 2020 年高考出现的新题型：题目所给的三个可选择的条件是平行的，即无
论选择哪个条件，都可解答题目，而且，在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答
过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分．
3．数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
（2）对于 型数列，其中 是等差数列， 是等比数列，利用错位相减法求
和；
（3）对于 型数列，利用分组求和法；
（4）对于 型数列，其中 是公差为 的等差数列，利用裂项相消
法求和．
4．常见的裂项公式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ．
1
【预测题 1】已知 是公差为 的无穷等差数列，其前 项和为 ．又___________，
且 ，是否存在大于 的正整数 ，使得 ？若存在，求 的值；若不存在，
说明理由．
从① ，② ．这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】答案见解析
【分析】根据所选条件得出 、 的值，可求得 的表达式，然后解方程 即可得
出结论．
【解析】若选①， ，
因为 是等差数列，所以 ，解得 ，
所以， ，
又 ，由 ，可得 ， ，解得 ，不合乎题意．
因此，不存在 使得 ；
若选②， ，
因为 是等差数列，所以 ，解得 ，
所以， ，
又 ，由 ，可得 ，即 ，
2
，解得 （舍）或 ，合乎题意．
所以，存在 使得 ．
【预测题 2】已知数列 中， ，且满足___________．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 n项和 ．
从① ；② ；③ 这三个条
件中选择一个，补充在上面的问题中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）答案见解析，（2）答案见解析
【分析】（1）若选①，则可得数列 是以 2为公比的等比数列，从而可求出其通项，
若选②，则数列 是以 2为公差的等差数列，从而可求出其通项，若选③，则可知数列
为常数数列，且 ，（2）若选①，则利用等比数列求和公式求 ，若选②或③，
则利用分组求和法求
【解析】（1）若选①，由 ，得 ，
因为 ，所以数列 是以 2为公比，1为首项的等比数列，
所以 ，
若选②，因为 ， ，
所以数列 是以 2为公差，1为首项的等差数列，
3
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